Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Александров А.Д. -> "Математика ее содержание, методы и значение Том 3" -> 3

Математика ее содержание, методы и значение Том 3 - Александров А.Д.

Александров А.Д. Математика ее содержание, методы и значение Том 3 — М.: Академия наук , 1956. — 336 c.
Скачать (прямая ссылка): matemateesoderjanieiznacheniet31956.djvu
Предыдущая << 1 .. 2 < 3 > 4 5 6 7 8 9 .. 145 >> Следующая


Читателю рекомендуется доказать, что сумма и пересечение множеств связаны обычным распределительным законом

M (N + Р) = MN + MP,

а также законом

M + ЛГ/> = (Af + N) (М + Р).

Разность. Разностью двух множеств MnN называется множество Z всех тех элементов из М, которые не принадлежат N:

Z = M-N.

Если NQM, то разность Z = M — N называют также дополнением к множеству N относительно М. Нетрудно показать, что всегда

M(N-P) = MN-MP

и

(M-N)^rMN = M.

Таким образом, правила действий над множествами значительно отличаются от обычных правил арифметики.

Конечные и бесконечные- множества. Множества, состоящие из конечного числа элементов, называются конечными множествами. Если же число элементов множества неограниченно, то такое множество 8

Глава XV. Теория, функций действительного переменного

называется бесконечным. Например, множество всех натуральных чисел бесконечно.

Рассмотрим два каких-либо множества M и JV и поставим вопрос о том, одинаково или нет количество элементов в этих множествах.

Если множество M конечно, то количество его элементов характеризуется некоторым натуральным числом — числом его элементов. В этом случае для сравнения количества элементов множеств MnN достаточно сосчитать число элементов в М, число элементов в JV и сравнить полученные числа. Естественно также считать, что если одно из множеств M и JV конечно, а другое бесконечно, то бесконечное множество содержит больше элементов,' чем конечное.

Однако, если оба множества M та N бесконечны, то путь простого счета элементов ничего не дает. Поэтому сразу возникают такие вопросы: все ли бесконечные множества имеют одинаковое количество элементов, или же существуют бесконечные множества с большим и меньшим количеством элементов? Если верно второе, то каким способом можно сравнивать между собой количество элементов в бесконечных множествах? Этими вопросами мы теперь и займемся.

Взаимно однозначное соответствие. Пусть снова M vi N — два конечных множества. Как узнать, какое из этих множеств содержит больше элементов, не считая числа элементов в каждом множестве? Для этого будем составлять пары, объединяя в пару один элемент из M и один элемент из JV. Тогда, если какому-нибудь элементу из M не найдется парного к нему элемента из JV, то в M больше элементов, чем в N. Поясним это рассуждение примером.

Пусть в зале находится некоторое число людей и некоторое число стульев. Чтобы узнать, чего больше, достаточно попросить людей занять места. «Если кто-нибудь остался без места, значит, людей больше, а если, скажем, все сидят и заняты все места, то людей столько же, сколько стульев. Описанный способ сравнения количества элементов во множествах имеет то преимущество перед непосредственным счетом элементов, что он без особых изменений применяется не только к конечным, но и к бесконечным множествам.

Рассмотрим множество всех натуральных чисел

М = {1, 2, 3, 4, ...}

и множество всех четных чисел

JV = {2, 4, 6, 8, ...}.

Какое множество содержит больше элементов? На первый взгляд кажется, что первое. Однако мы можем образовать из элементов этих множеств пары, как указано ниже. § 2. Множества

9

Таблица 1

M 1 2 3 4 . . .
N 2 4 6 8 . . .

Ни один элемент M и ни один элемент N не остается без пары. Правда, мы могли бы также образовать пары и так:

Таблица 2

м І 1 2 3 4 5 . . .
N I — 2 — J 4 — . . .

Тогда многие элементы из M остаются без пар. G другой стороны, мы могли бы составить пары и так:

Таблица 3

M - 1 2 — 3 — . . .
N 2 4 6 8' 10 12 14

Теперь многие элементы из M остаются без пар.

Таким образом, если множества А и В бесконечны, то различным способам образования пар соответствуют разные результаты. Если существует такой способ образования пар, при котором у каждого элемента А и каждого элемента В имеется парный к нему элемент, то говорят, что между ,множествами А и В можно установить взаимно однозначное соответствие. Например, между рассмотренными выше !множествами M и N можно установить взаимно однозначное соответствие, как это видно из табл. 1.

Если между множествами А и В можно установить взаимно однозначное соответствие, то говорят, что они имеют одинаковое количество элементов или равномощны. Если же при любом способе образования пар некоторые элементы из А всегда остаются без пар, то говорят, что множество А содержит больше элементов, чем В, или что множество А имеет большую мощность, чем В.

Таким образом, мы получили ответ на один из поставленных выше вопросов: как сравнивать между собой количество элементов в бесконечных множествах. Однако это нисколько не приблизило нас к ответу на другой вопрос:' существуют ли вообще бесконечные множества, 10

Глава XV. Теория, функций действительного переменного

имеющие различные мощности? Чтобы получить ответ на этот вопрос, исследуем некоторые простейшие типы бесконечных множеств.

Счетные множества. Если можно установить взаимно однозначное соответствие между элементами множества А и элементами множества всех натуральных чисел
Предыдущая << 1 .. 2 < 3 > 4 5 6 7 8 9 .. 145 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed