Математика ее содержание, методы и значение Том 3 - Александров А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
При помощи аналогичных построений в области рациональных чисел можно определить действительные числа. Далее определяются действия между действительными числами и устанавливается, что они удовлетворяют тем же аксиомам, что и действия над рациональными числами. Теперь уже каждой точке на прямой соответствует действительное число и обратно. В силу этого совокупность всех действительных чцсел часто называют числовой прямой.
Принципы непрерывности. Между множеством всех рациональных чисел и множеством всех действительных чисел имеется существенное различие. Именно, совокупность всех действительных чисел обладает рядом свойств, характеризующих непрерывность этого множества, в то время как множество всех рациональных чисел такими свойствами не обладает. Эти свойства принято называть принципами непрерывности. Перечислим здесь важнейшие из них.
Принцип Дедекинда. Если множество всех действительных чисел разбито на два непустых множества X и Y без общих элементов, так что для любых х у &Y выполняется неравенство х<С_у, то существует единственное ЧИСЛО ? (рубеж), для которого X ^ у для любых х?Х, y?Y. Множество действительных чисел х, удовлетворяющих неравенствам а^х^Ь, называется отрезком числовой прямой и обозначается через [а, 6]. Система отрезков [ая, Ь„] называется стягивающейся, если \а„+1, Ьп+1] С \ап, Ь„] и Ь„ — ая-»0 (я-> оо).
Принцип Кантора. Для любой стягивающейся системы отрезков [аЯ) Ьп] существует одно и только одно 'действительное ЧИСЛО 5» принадлежащее каждому из этих отрезков.
Принцип Вейерштрасса. Всякая неубывающая ограниченная сверху последовательность действительных чисел сходится.
Будем говорить, что последовательность действительных чисел {хп} фундаментальна, если для любого є>0 найдется такое натуральное число N, что для всех n^>N и всех натуральных р 16
Глава XV. Теория, функций действительного переменного
Принцип Кош и. Всякая фундаментальная последовательность действительных чисел сходится.
Поскольку мы не провели аккуратного построения действительных чисел, мы не имеем возможности установить, что для множества действительных чисел выполняются эти принципы. Наша ближайшая цель — рассмотреть, как эти принципы связаны друг с другом. Именно, допустим, что для действительных чисел имеет место один из принципов непрерывности, и исследуем, какие из остальных принципов непрерывности вытекают отсюда.
Общий вывод, к которому мы придем, это — что все принципы непрерывности эквивалентны.
Будем говорить, что число 6 является верхней гранью множества E
если 1) Z ^ Ь для любого х?Е и 2) не существует числа b'<^b, обладающего тем же свойством.
Покажем, что из принципа Дедекинда вытекает следующее предложение: каждое непустое ограниченное сверху множество чисел E имеет верхнюю грань. В самом деле, разобьем все действительные числа на два класса X и У по следующему признаку: положим х?Х, если существует такое а?Е, что а^х, и положим уесли для любого а ?Е имеем а<^у. Легко проверить, что это — сечение. Согласно принципу Дедекинда, оно имеет рубеж этот рубеж и будет верхней гранью множества Е.
Покажем теперь, что из принципа Дедекинда вытекает принцип Вейерштрасса. Пусть {жя} — неубывающая ограниченная сверху последовательность действительных чисел. По только что доказанному она имеет верхнюю грань Н. Согласно определению верхней грани хп {я = 1, 2,...), для любого ?>0 найдется номер /г0, такой, что — S- В силу монотонности последовательности {х„\ отсюда вытекает, что ?— г < х„ для всех /г>/г0, т. е. последовательность {х„} сходится и имеет предел
Для доказательства обратного соотношения между принципами Дедекинда и Вейерштрасса отметим, что из принципа Вейерштрасса вытекает так называемый
Принцип Архимеда. Каковы бы ни были действительные числа а > 0 и 6, можно найти такое натуральное число п, что па > 6.
Этот принцип означает, что для любого действительного числа b
Допустим, что выполняется принцип Вейерштрасса и не выполняется принцип Архимеда. Последнее означает, что существует такое
b = sup Е,
последовательность
сходится к нулю. § 3. Д ействительтле числа
17
0, что последовательность х„ = па ограничена. Кроме того, она возрастающая. По принципу Вейерштрасса она имеет некоторый пре-
точку х„ = па нашей последовательности. Но тогда жя+1 = (/і-|-1)а>?, что противоречит тому, что ? есть верхняя грань {х„}.
Из принципа Вейерштрасса вытекает принцип Дедекинда. Пусть множество всех действительных чисел разбито на сумму двух непересекающихся множеств X и Y, так что х<^у для любых х?Х, у^У. Покажем, что это сечение имеет единственный рубеж Пусть т — целое, п — натуральное. Обозначим через хп наибольший элемент вида
~ ?Х, так что хп-\- . Так как множество элементов вида^содер-
2 2 2
жится в множестве элементов вида і то Кроме того,
последовательность {х„} ограничена ^например, числом X1 yj- Отсюда
по принципу Вейерштрасса она имеет некоторый предел Докажем, что ? и есть рубеж нашего сечения. Действительно, если то
хСХ. Если же то у^У, так как из принципа Архимеда выте-
