Математика ее содержание, методы и значение Том 3 - Александров А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
кает, что найдется такой номер п, что — ? = а. Но
1 1 xn-\r—h а тогда ?/ = ? +а>жя-f — и, следовательно, y?Y.
Можно также установить, что принципы Кантора и Коши эквивалентны. Однако из выполнения, например, принципа Коши еще не вытекает, что выполняется принцип Дедекинда. Это утверждение надо понимать в следующем смысле: существует упорядоченное поле, для которого принцип Коши выполняется, а принцип Дедекинда не выполняется. Если же заранее предположить, что выполняется принцип Архимеда, то все четыре принципа эквивалентны.
Несчетность континуума. Покажем, что множество всех точек отрезка 0 ^ X несчетно. Докажем это предложение от противного. Предположим, что множество всех точек отрезка 0<ж<1 счетно. Тогда все точки х этого отрезка можно занумеровать при помощи натуральных чисел
Выберем на отрезке [0,1] отрезок g1 так, чтобы его длина была меньше, чем 1, и чтобы он не содержал точки X1. Такой отрезок наверняка найдется. Далее, внутри отрезка C1 выберем отрезок <т2 так, чтобы
длина G2 была меньше, чем и чтобы отрезок а2 не содержал точек
X1 и х2. Вообще, после того как выбран отрезок <t„_j, мы выбираем
в нем отрезок <7И так, чтобы длина его была меньше, чем 1, и' чтобы
2 Зак. № 812
дел Отсюда вытекает, что отрезок
содержит некоторую
X1, х2>. • ., хп, .
(1)18
Глава XV. Теория, функций действительного переменного
отрезок с„ не содержал точек X1, ж2, . . ., х„. Мы построим таким образом бесконечную последовательность отрезков
Gjj " ' " * " * • »
такую, что каждый последующий отрезок содержится в предшествующем и длины отрезков стремятся к нулю с возрастанием п. Тогда в силу принципа Кантора (см. стр. 15) существует единственная точка х отрезка [0, 1], принадлежащая всем отрезкам а„. Так как, по нашему предположению, все точки отрезка [0, 1] записаны в ряду (1), то и точка х, общая всем отрезкам ап, совпадает с какой-то точкой хт этого ряда. Но по построению уже отрезок <sm не содержит точки хт, и, следовательно, х=^=хт. Таким образом, мы пришли к противоречию. Поэтому исходное предположение о счетности множества всех точек отрезка [0, 1] ложно, и, значит, множество всех точек отрезка [0, 1} несчетно, что и требовалось доказать.
Эта теорема показывает, что существуют различные бескопечные мощности, и, следовательно, дает положительный отвот на первый из вопросов, поставленных на стр. 8.
§ 4. ТОЧЕЧНЫЕ МНОЖЕСТВА
В предыдущем параграфе мы уже встречались со множествами, элементами которых являются точки. В частности, мы рассматривали множество всех точек какого-либо отрезка, множество всех точек (X, у) квадрата О^ж^І, Теперь мы займемся более под-
робно изучением свойств таких множеств.
Множества, элементами которых являются точки, называются точечными множествами. Таким образом, можно говорить о точечных множествах на прямой, на плоскости, в каком-либо пространстве. Ради простоты мы ограничимся рассмотрением точечных множеств на прямой.
Между действительными числами и точками на прямой имеется тесная связь: каждому действительному числу можно отнести точку на прямой и обратно. Поэтому, говоря о точечных множествах, мы будем причислять к ним и множества, состоящие из действительных чисел — мпожества на числовой прямой. Обратно: для того чтобы задать точечное множество на прямой, мы будем обычно задавать координаты всех точек нашего множества.
Точечные множества (и, в частности, точечные множества на прямой) обладают рядом особых свойств, отличающих их от произвольных множеств и выделяющих теорию точечных множеств в самостоятельную математическую дисциплину. Прежде всего имеет смысл говорить о расстояний между двумн точками. Далее, между точками на прямой можно установить соотношения порядка (левее, правее); в соответствии§ 4. Точечные множества
с этим говорят, что точечное множество на прямой является упорядоченным множеством. Наконец, как уже отмечалось выше, для прямой' справедлив принцип Кантора; это свойство прямой принято характери-* аовать как полноту прямой.
Введем обозначения для простейших множеств на прямой.
Отрезок [а, 6]—множество точек, координаты которых удовлетворяют неравенствам а^х^Ь.
Интервал (а, 6) — множество точек, коордагааты которых удовлетворяют условиям а<^х<^Ь.
Полуинтервалы [а, 6) и (а, 6] определяются соответственна условиями: и а<^х^.Ь.
Интервалы и полуинтервалы могут быть несобственными. Именно, (—со, со) обозначает всю прямую, а, например, (—со, 6]—множество-всех точек, для которых х^Ь.
Начнем с рассмотрения различных возможностей расположения-множества в целом на прямой.
Ограниченные и неограниченные множества. Множество E точек, на прямой может либо состоять из точек, расстояния которых от начала координат не превосходят некоторого положительного числа,. либо иметь точки, сколь угодно далекие от начала координат. В первом случае множество E называется ограниченным, а во вт&ром — неограниченным. Примером ^ограниченного множества может служить множество всех точек отрезка [0, а примером неограниченного-множества — множество всех точек с целыми координатами.