Математика ее содержание, методы и значение Том 3 - Александров А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
Z = { 1, 2, 3. ...},
то говорят, что множество А счетно, Иными словами, множество А счетно, если все его элементы можно занумеровать посредством натуральных чисел, т. е. записать в виде последовательности
1 &2t • • • і Оці • ¦ •
Табл. 1 показывает, что множество всех четных чисел счетно (верхнее число рассматривается теперь как номер соответствующего нижнего числа).
Счетные множества это, так сказать, самые маленькие из бесконечных множеств: во всяком бесконечном множестве содержится счетное подмножество.
Если два непустых конечных множества не пересекаются, то их сумма содержит больше элементов, чем каждое из слагаемых. Для бесконечных множеств это правило может и не выполняться. В самом деле, пусть Ч есть множество всех четных чисел, H — множество всех нечетных чисел и Z — множество всех натуральных чисел. Как показывает табл. 4, множества Ч и Нечетны. Однако множество Z = 4 -\-Н вновь счетно.
Таблица 4
ч 2 . 4 в 8 . . .
я 1 3 5 7 . . .
Z 1 2 3 4 • • •
Нарушение правила «целое больше части» для бесконечных множеств показывает, что свойства бесконечных множеств качественно отличны от свойств конечных множеств. Переход от конечного к бесконечному сопровождается в полном согласии с известным положением диалектики — качественным изменением свойств.
Докажем, что множество всех рациональных чисел счетно. Для этого расположим все рациональные числа в такую таблицу:§ 2. Множества
11
(lJ 12J (3) (4) [S) fs)
/
/
/
/1
/
/
/
/
/
/ /О
у
7J
/
г/
/
7*
/
-S
* 1Ґ /г
/_
M-
г
/
af /г
S-'
/2
Ly /2
JL г
JL
г
/
/і.
/L
3
'г
/
/
? 'Z
_7
г
?
г
IL
z
Ze /
А
/ з у_
7
'3
Л
' з
4
3 J
' 3
?
3
I ' 3
7 3
Z 3
Я 3
I
'з
Здесь в первой строке помещены все натуральные числа в порядке их возрастания, во второй строке 0 и целые отрицательные числа в порядке их убывания, в третьей строке — положительные несократимые дроби со знаменателем 2 в порядке их возрастания, в четвертой строке — отрицательные несократимые дроби со знаменателем 2 в порядке их убывания и т. д. Ясно, что каждое рациональное число один и только один раз находится в этой таблице. Перенумеруем теперь все числа этой таблицы в том порядке, как это указано стрелками. Тогда все рациональные числа разместятся в порядке одной последовательности: *
Номер места, занимаемого
рациональным числом_1 2 3 4 5 6_7_8_9 . . .
1 3
Рациональное число 1, 2, О, З, —1, —, 4, —2, -я-»---
mt mt
Этим установлено взаимно однозначное соответствие между всеми рациональными числами и всеми натуральными числами. Поэтому множество всех рациональных чисел счетно.
Множества мощности континуума. Если можно установить взаимно однозначное соответствие между элементами множества M и точками отрезка 0 ^ X то говорят, что множество M имеет мощность континуума. В частности, согласно этому определению, само множество точек отрезка 0 ^ х имеет мощность континуума.
Из рис. 1 видно, что множество точек любого отрезка AB имеет мощность континуума. Здесь взаимно однозначное соответствие устанавливается геометрически, посредством проектирования.12
Глава XV. Теория, функций действительного переменного
Нетрудно показать, что мпожества точек любого интервала а<^х<^Ь и всей числовой прямой—оо <[ х < -f- оо имеют мощность
континуума.
^/^ Значительно более интересен та-
/ кой факт: множество точек квадрата ' / 0 ^ ж <^1, имеет мощность
дj / континуума. Таким образом, грубо го-
воря, в квадрате «столько же» точек, сколько и в отрезке.
§ 3. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА '
Развитие понятия о числе подробно изложено в главе I (том 1). Здесь мы дадим читателю беглое представление о теориях действительных чисел, которые возникли в XIX в. в связи с обоснованием основпых понятий анализа.
Рациональные числа. Мы предполагаем, что читатель знаком с основными свойствами рациональных чисел. Бе вдаваясь в подроб-
Рис. 1.
m
ности, напомним эти свойства. Рациональные числа, т. е. числа вида—,
где m и п — целые и /1=^=0, представляют собою множество чисел, в котором определены две операции (сложение и умножение). Эти операции подчиняются ряду законов (аксиом). В дальнейшем а, Ь, с, . .. обозначают рациональные числа.
I. Аксиомы сложения.
1) а-|-6 = &-|-а (коммутативность),
2) а (6 с) = (а -(- 6) -(- с (ассоциативность;,
3) уравнение
имеет единственное решение (существование обратной операции).
Из этих аксиом непосредственно вытекает, что имеет однозначный смысл выражение а -(- Ь -(- с, что существует рациональное число 0 (нуль), для которого а + О — а, и что для сложения существует обратная операция — вычитание, так что имеет смысл выражение 6 — а.
Таким образом, с алгебраической точки зрения, по отношению к операции сложения все рациональные числа образуют коммутативную группу.
1 При написании этого параграфа использованы ценные консультации А. Н. Колмогорова.§ 3. Д ействительтле числа