Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Александров А.Д. -> "Математика ее содержание, методы и значение Том 3" -> 4

Математика ее содержание, методы и значение Том 3 - Александров А.Д.

Александров А.Д. Математика ее содержание, методы и значение Том 3 — М.: Академия наук , 1956. — 336 c.
Скачать (прямая ссылка): matemateesoderjanieiznacheniet31956.djvu
Предыдущая << 1 .. 2 3 < 4 > 5 6 7 8 9 10 .. 145 >> Следующая


Z = { 1, 2, 3. ...},

то говорят, что множество А счетно, Иными словами, множество А счетно, если все его элементы можно занумеровать посредством натуральных чисел, т. е. записать в виде последовательности

1 &2t • • • і Оці • ¦ •

Табл. 1 показывает, что множество всех четных чисел счетно (верхнее число рассматривается теперь как номер соответствующего нижнего числа).

Счетные множества это, так сказать, самые маленькие из бесконечных множеств: во всяком бесконечном множестве содержится счетное подмножество.

Если два непустых конечных множества не пересекаются, то их сумма содержит больше элементов, чем каждое из слагаемых. Для бесконечных множеств это правило может и не выполняться. В самом деле, пусть Ч есть множество всех четных чисел, H — множество всех нечетных чисел и Z — множество всех натуральных чисел. Как показывает табл. 4, множества Ч и Нечетны. Однако множество Z = 4 -\-Н вновь счетно.

Таблица 4

ч 2 . 4 в 8 . . .
я 1 3 5 7 . . .
Z 1 2 3 4 • • •

Нарушение правила «целое больше части» для бесконечных множеств показывает, что свойства бесконечных множеств качественно отличны от свойств конечных множеств. Переход от конечного к бесконечному сопровождается в полном согласии с известным положением диалектики — качественным изменением свойств.

Докажем, что множество всех рациональных чисел счетно. Для этого расположим все рациональные числа в такую таблицу: § 2. Множества

11

(lJ 12J (3) (4) [S) fs)

/

/

/

/1

/





/

/

/

/







/ /О

у

7J

/

г/

/

7*

/





-S

* 1Ґ /г

/_

M-

г

/

af /г

S-'



/2

Ly /2

JL г

JL

г



/

/і.

/L

3



/

/

? 'Z

_7

г

?

г

IL

z

Ze /

А



/ з у_

7



'3

Л

' з

4

3 J

' 3

?

3

I ' 3

7 3

Z 3

Я 3

I



Здесь в первой строке помещены все натуральные числа в порядке их возрастания, во второй строке 0 и целые отрицательные числа в порядке их убывания, в третьей строке — положительные несократимые дроби со знаменателем 2 в порядке их возрастания, в четвертой строке — отрицательные несократимые дроби со знаменателем 2 в порядке их убывания и т. д. Ясно, что каждое рациональное число один и только один раз находится в этой таблице. Перенумеруем теперь все числа этой таблицы в том порядке, как это указано стрелками. Тогда все рациональные числа разместятся в порядке одной последовательности: *

Номер места, занимаемого

рациональным числом_1 2 3 4 5 6_7_8_9 . . .

1 3

Рациональное число 1, 2, О, З, —1, —, 4, —2, -я-»---

mt mt

Этим установлено взаимно однозначное соответствие между всеми рациональными числами и всеми натуральными числами. Поэтому множество всех рациональных чисел счетно.

Множества мощности континуума. Если можно установить взаимно однозначное соответствие между элементами множества M и точками отрезка 0 ^ X то говорят, что множество M имеет мощность континуума. В частности, согласно этому определению, само множество точек отрезка 0 ^ х имеет мощность континуума.

Из рис. 1 видно, что множество точек любого отрезка AB имеет мощность континуума. Здесь взаимно однозначное соответствие устанавливается геометрически, посредством проектирования. 12

Глава XV. Теория, функций действительного переменного

Нетрудно показать, что мпожества точек любого интервала а<^х<^Ь и всей числовой прямой—оо <[ х < -f- оо имеют мощность

континуума.

^/^ Значительно более интересен та-

/ кой факт: множество точек квадрата ' / 0 ^ ж <^1, имеет мощность

дj / континуума. Таким образом, грубо го-

воря, в квадрате «столько же» точек, сколько и в отрезке.

§ 3. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА '

Развитие понятия о числе подробно изложено в главе I (том 1). Здесь мы дадим читателю беглое представление о теориях действительных чисел, которые возникли в XIX в. в связи с обоснованием основпых понятий анализа.

Рациональные числа. Мы предполагаем, что читатель знаком с основными свойствами рациональных чисел. Бе вдаваясь в подроб-

Рис. 1.

m

ности, напомним эти свойства. Рациональные числа, т. е. числа вида—,

где m и п — целые и /1=^=0, представляют собою множество чисел, в котором определены две операции (сложение и умножение). Эти операции подчиняются ряду законов (аксиом). В дальнейшем а, Ь, с, . .. обозначают рациональные числа.

I. Аксиомы сложения.

1) а-|-6 = &-|-а (коммутативность),

2) а (6 с) = (а -(- 6) -(- с (ассоциативность;,

3) уравнение

имеет единственное решение (существование обратной операции).

Из этих аксиом непосредственно вытекает, что имеет однозначный смысл выражение а -(- Ь -(- с, что существует рациональное число 0 (нуль), для которого а + О — а, и что для сложения существует обратная операция — вычитание, так что имеет смысл выражение 6 — а.

Таким образом, с алгебраической точки зрения, по отношению к операции сложения все рациональные числа образуют коммутативную группу.

1 При написании этого параграфа использованы ценные консультации А. Н. Колмогорова. § 3. Д ействительтле числа
Предыдущая << 1 .. 2 3 < 4 > 5 6 7 8 9 10 .. 145 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed