Математика ее содержание, методы и значение Том 3 - Александров А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
Из приведенных выше примеров видно, что бесконечное множество точек на прямой может иметь изолированные точки (E1, Ei), а может их не иметь (E2, E3)', точно так же оно может иметь внутренние точки (E3) и может их пе иметь (Ev E2, Ei). Что же касается предельных точек, то лишь мпожество E1 примера 4 не имеет ни одной предельной точки. Как показывает следующая важная теорема, это связано с тем, что мпожество E1 неограничено.
Теорема Больцано—Вейерштрасса. Всякое ограниченное бесконечное множество точек на прямой имеет хотя бы одну предельную точку.
Докажем эту теорему. Пусть E — ограниченное бесконечное множество точек на прямой. Так как множество E ограничено, то оно целиком расположено на некотором отрезке [а, 6]. Разделим этот отрезок пополам. Так как множество E бесконечно, то хотя бы в одном из полученных отрезков лежит бесконечно много точек множества Е. Обозначим этот отрезок через G1 (если в обеих половинах 22
Глава XV. Теория, функций действительного переменного
-отрезка [а, Ь] лежит бесконечно много точек множества Е, то через п, ¦можно обозначить, например, левую). Далее, разделим отрезок с, іяа два равных отрезка. Так как часть множества E1 расположенная ша отрезке C1, бесконечна, то хотя бы один из полученных отрезков •содержит бесконечно много точек множества Е. Обозначим зтот отрезок через (i2. Продолжим неограниченно процесс деления отрезков пополам и будем каждый раз брать ту половину, которая содержит 'бесконечно много точек множества Е. Мы получим последовательность отрезков Cj, C2,..., <sn,... Эта последовательность отрезков обладает такими свойствами: каждый следующий отрезок с„+1 содержится в предыдущем с„; каждый отрезок а„ содержит бесконечно много точек множества E', длины отрезков с„ стремятся к нулю. Первые два свойства последовательности непосредственно вытекают из ее построения, а для доказательства последнего свойства достаточно заметить,
что если длина отрезка [а, 6] равна I, то длина отрезка сп равна •
В силу принципа Кантора существует единственная точка х, принадлежащая всем отрезкам с„. Покажем, 'что эта точка х является предельной точкой множества Е. Для этого достаточно установить, что если S есть некоторый интервал, содержащий точку х, то он содержит •бесконечно много точек множества Е. Так как каждый отрезок с„ ¦содержит точку X и длины отрезков Qn стремятся к нулю, то при достаточно большом п отрезок с„ будет целиком содержаться в интервале Но по условию сп содержит бесконечно много точек множества Е. Поэтому и S содержит бесконечно много точек множества Е. Итак, точка х действительно является предельной точкой множества Е, и теорема доказана.
Упражнение. Покажите, что если множество E ограничено сверху и не имеет самой правой точки, то его верхняя грань является предельной точкой E (и не принадлежит Е).
Замкнутые и открытые множества. Одна из основных задач теории точечных множеств — изучение свойств различных типов точечных множеств. Мы познакомим читателя с этой теорией на двух примерах. Именно, мы изучим здесь свойства так называемых замкнутых и открытых множеств.
Множество называется замкнутым, если оно содержит все свои предельные точки. Если множество не лмеет ни одной предельной точки, то его тоже принято считать замкнутым. Кроме своих продельных точек, замкнутое множество может также содержать изолированные точки. Множество называется открытым, если каждая его точка является для него внутренней.
Приведем примеры замкнутых и открытых множеств. Всякий отрезок [а, 6] есть замкнутое множество, а всякий интервал (а, Ь) — открытое множество. Несобственные полуинтервалы (—оо, Ъ] и [а, оо) § 4. Точечные множества
23.;
замкнуты, а несобственные интервалы (—оо, Ь) и (а, оо) открыты. Вся прямая является одновременнр и замкнутым и открытым множеством. Удобно считать пустое множество тоже одновременно замг кнутым и открытым. Любое конечное множество точек на прямой замкнуто, так как оно не имеет предельных точек. Множество, состо ящее из точек
замкнуто; это множество имеет единственную предельную точку X = 0, которая принадлежит множеству.
Наша задача состоит в том, чтобы выяснить, как устроено произвольное замкнутое или открытое множество. Для этого пам понадобится ряд вспомогательных фактов, которые мы примем без доказательства.
1. Пересечение любого числа замкнутых множеств замкнуто.
2. Сумма любого числа открытых множеств есть открытое множество.
3. Если замкнутое множество ограничено сверху, то оно содержит «вою верхнюю грань. Аналогично, если замкнутое множество ограничено снизу, то оно содержит свою нижнюю грань.
Пусть E—произвольное множество точек на прямой. Назовем дополнением множества E и обозначим через CE множество всех точек на прямой, не принадлежащих множеству Е. Ясно, что если х есть внешняя точка для Е, то она является внутренней точкой для множества CE н обратно.
4. Если множество F замкнуто, то его дополнение CF открыто и обратно.
Предложение 4 показывает, что между замкнутыми и открытыми множествами имеется весьма тесная связь: одни являются дополнениями других. В силу этого достаточпо изучить одни замкнутые или одни открытые множества. Зиание свойств множеств одного типа позволяет сразу выяснить свойства множеств другого типа. Например, всякое открытое мпожество получается путем удаления из прямой некоторого замкнутого множества.
