Математика ее содержание, методы и значение Том 3 - Александров А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
если в данный многочлен всюду вместо буквы X1 поставлена буква Xli вместо X2 поставлена ж,г и т. д. Полученный таким образом многочлен обозначается через FA. Так, если
F = X1*-2х2-\-х3 — Xi, ^4=(3142). то FA =¦ X3 —2x1-\-xi— х2. д*
Симметрия данного многочлена ха- Рис g
рактеризуется совокупностью тех подстановок неизвестных, которые, будучи выполнены над многочленом, его не изменяют. Например, симметрия многочлена х^ -\-2х2-\-
. , . _ /12 34\ /1 234\
-f-X^ Ixi характеризуется четырьмя подстановками: М 234/' 13214/'
\ / чч) (ч / ? о)> а симметрия многочлена X13 -f- 2х2 -{- X33 -}- Xi характери-
\1 432/' \3412
/12 34\ /1234
зуетсн лишь двумя подстановками: и 234/ и 13214
§ 3. ГРУППЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ
Умножение преобразований. Изучая свойства преобразований, легко заметить, что некоторые преобразования можно составить из нескольких других. Так, винтовые движения составляются из поворотов вокруг оси и сдвигов вдоль оси. Этот процесс составления новых преобразований из заданных носит название умножения преобразований. Производя над произвольным элементом х множества M какое-либо преобразование А и затем к новому элементу хА применяя преобразование В, получим элемент (хА)В. Преобразование, переводящее х непосредственно в (хА)В, называется произведением преобразования А на В и обозначается через AB. Следовательно, по определению, имеем
х(АВ) = (хА)В.
Пример:
/1234\/1 234\ /1234\ \2 3 4 1/ \34 1 2/ \4 1 2 3/ •
17 Зек. M 81? 258
Глава XX. Группы, и другие алгебраические системы
Действительно, первая подстановка переводит 1 в 2, а вторая 2 переводит в 4, поэтому результирующая подстановка должна переводить 1 в 4 и т. д. Вот еще несколько примеров:
1234 3142
12 3 4\-1
13 24/ :
1 2 34\ /12344 /1234 314 2/ \1 324/~\2143
1234 2143
/1 2 3 4\ /1234 \31 24/ = \1 34 2
1234 3124
1 234\ 21 4 3/:
1234 4213
У
MP, = N
ал *р \ \ \ і M X
\ N Ч \ V V'' ¦
-Ч .1 Z 0 і '
Последние два примера показывают, что умножение преобразований есть, как говорят, действие некоммутативное: его результат зависит от
порядка сомножителей. Это же легко подтверждается и для умножения движений плоскости. Пусть, например, А есть поворот плоскости на 90° вокруг начала О, a В — перенос вдоль оси Ox на единицу.
Посмотрим, во что ц^реводят пре-образо^ния AB и BA точку О. По Рис. 9. определению, имеем (рис. 9)
О (AB) = (OA) B = OB = М, О (BA) = (OB) A = MA=N7
т. е. АВфВА.
Чтобы ближе выяснить геометрическую природу преобразования BA, рассмотрим точку Р. Имеем
P(BA) = (PB) A=QA=P,
т. е. точка P остается при преобразовании BA неподвижной. Исходя из этого, легко показать, что BA есть просто поворот плоскости на 90° вокруг точки Р. Аналогично
Q(AB) = (QA)B = PB = Q,
и AB есть поворот плоскости на 90° вокруг точки Q.
Умножение движений плоскости или пространства происходит в общем случае по довольно сложным законам. Однако в двух важных случаях законы умножения очень просты. Во-первых, если умножаются повороты плоскости вокруг одной и той же точки или повороты пространства вокруг одной и той же прямой на углы <р и ф, то результирующее преобразование будет соответственным поворотом на угол <р-|-ф. Во-вторых, если умножаются переносы, характеризуемые векто- § 3. Группы преобразований
259
рами MN и NP, то произведение будет также переносом, характеризуемым вектором MP, т. е. суммой первоначальных векторов.
Сам термин «умножение» преобразований вызван некоторой аналогией между умножением чисел и умножением преобразований. Однако эта аналогия неполная. Так, при умножении чисел имеет место коммутативный (переместительный) закон. Мы уже видели, что при умножении преобразований этот закон может быть нарушен. Второй же основной закон арифметики — сочетательный закон (ассоциативность) умножения — в полной мере сохраняется для преобразований Именно, для любых преобразований А, В, С множества M имеет место равенство A(BC) = (AB)C.
В самом деле, если т — произвольный элемент из М, то
т[А(ВС)] = (тА)(ВС) = [(тА)В]С = [т(АВ)]С=т[(АВ) Cl
Ассоциативный закон позволяет вместо jsjfyx произведений А (ВС) и (AB) С преобразований А, ?, С говорить лишь об одном произведении A (BC) = (AB)C = ABC. Этот же закон показывает, что и произведение четырех и более преобразований не зависит от расстановки скобок.
Далее, среди преобразований имеется преобразование, играющее роль числа 1, это — тождественное или единичное преобразование Е, которое оставляет каждый элемент множества M неизменным. Ясно, что AE = EA = А, каково бы ни было преобразование А.
Отметим еще следующий важный факт: произведение взаимно однозначных преобразований есть преобразование взаимно однозначное. В самом деле, чтобы найти элемент х множества М, который произведением AB переводится в данный элемент а, достаточно найти элемент Xv переводимый преобразованием В в а, и затем найти элемент ж2, переводимый преобразованием А в X1. Так как X2(AB) = (XtA)B = = X1A = Ci, то X2 и будет искомым элементом х.
