Математика ее содержание, методы и значение Том 3 - Александров А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
ь
ция j к (х, y)fi(y)dy. Поэтому скалярное произведение (Af1, /2), равное
а
интегралу от произведения этой функции на /2, задается формулой
к Ь
(Af1, /2) = JJ &(г, y)fr(y)f2(x) dydx. § 5. Линейные операторы
248
Аналогично
ь о
Uv Л/2) = Jj к (х, у) /2 (;у) /, (х) dy dx.
а а
Равенство (Afv f2)~(fi, Af2) есть непосредственное следствие симметричности ядра к(х, у).
Произвольные самосопряженные операторы обладают рядом важнейших свойств, полезных при применении этих операторов к решению разного рода задач. Именно, оказывается, что собственные значения самосопряженного линейного оператора всегда действительны и собственные функции, отвечающие различным собственным значениям, ортогональны между собой.
Докажем, например, последнее утверждение. Пусть X1 и A2—два различных собственных значения оператора А, а Zi и /2 — соответствующие им собственные векторы. Это значит, что
Умножим скалярно первое из равенств (36) на /2, а второе — на Zi- Мы имеем
Так как оператор А самосопряженный, то (Af1, fa) = (Af2, Ji). Вычитая из первого равенства (37) второе, получаем
Так как X1 =^ X2, то (/], Z2) = О, т. е. собственные векторы /, и Z2 ортогональны.
Исследование самосопряженных операторов внесло ясность во многие конкретные вопросы и задачи, связанные с теорией собственных значений.
Остановимся подробнее на одной из них, а именно на задаче о разложении по собственным функциям в случае непрерывного спектра.
Чтобы пояснить, что значит непрерывный спектр, обратимся снова к классическому примеру колебаний струны. Мы указывали выше, что для струны длины I собственные частоты колебаний могут принимать последовательность значений
Л/і =Xi/i, ¦<4/2 = Х2/г •
(36)
(Af1, Z2) =X1Vi, /2), (Af2, /і) = Х2(/2, /,).
(37)
о = (X1-A2XZ11 Z2).
TT 0 те
а Т , 2 а т,
те
16* 244
Глава JLlJL. Функциональный анализ
Отложим на числовой оси OX точки этой последовательности. Если увеличивать длину струны I, то расстояние между любыми двумя соседними точками последовательности будет уменьшаться, и они будут всё более плотно заполнять числовую ось. В предельвом случае, когда I—voo, т. е. для бесконечной струны, собственные частоты заполнят числовую полуось Х>0. В этом случае говорят, что система имеет непрерывный спектр.
Мы уже говорили, что разложение в ряд по собственным функциям для струны длины I есть разложение в ряд по синусам и косите
нусам Rji, т. е. в тригонометрическии ряд
f(x)= ^ а„ cos п X -(- b„ sin п х.
Для случая бесконечной струны снова можно показать, что более или менее произвольную функцию можно разложить по синусам и косинусам. Однако, поскольку собственные частоты распределены теперь по числовой прямой непрерывно, это разложение будет не разложением в ряд, а разложением в так называемый интеграл Фурье
+ я
f(x)=: [ [ А (X) cos IxВ (X) sin Xa;] d\.
— СО
Разложение в интеграл Фурье было давно известно и широко использовалось уже в XIX в. при решении различных задач математической физики.
Однако в более общих задачах с непрерывным спектром1 многие вопросы, относящиеся к разложению функций по собственным функциям, не были выяснены. Только создание общей теории самосопряженных операторов внесло необходимую ясность в эти вопросы.
Отметим еще один круг классических задач, получивших свое разрешение на основе общей теории операторов. К этим задачам относится рассмотрение колебаний при наличии диссипации (рассеяния) энергии.
В этом случае мы снова можем искать свободные колебания системы в виде u(x)<p(t). Однако, в отличие от случая колебаний без диссипации энергии, функция <р (Z) не есть просто cosmZ, а имеет вид e~kt cosmZ, где 0. Таким образом, соответствующее решение имеет вид
и (х) e~kt cosmZ. Каждая точка х в этом случае снова совершает колебания (с частотой м), однако колебания являются затухающими, так как
1 Примерами могут служить колебания неоднородной упругой Среды, а также многие задачи квантовой механики. § 5. Линейные операторы
245
при t —> оо амплитуда этих колебаний, содержащая множителем e~kt, стремится к нулю.
Удобно записывать собственные колебания системы в комплексной форме: u(x)e~'Xi, где при отсутствии трения число X действительно, а при наличии трения комплексно.
Задача о колебаниях системы с диссипацией энергии опять приводит к задаче о собственных значениях, но уже не для самосопряженных операторов. Для них характерно наличие комплексных собственных значений, свидетельствующих о затухании свободных колебаний.
Используя методы теории операторов в соединении с методами теории аналитических функций, М. В. Келдыш в 1950—1951 гг. изучил этот класс задач, доказан для него полноту системы собственных функций.
Связь функционального анализа с другими разделами математики и квантовой механикой. Мы уже упоминали выше, что создание квантовой механики явилось решающим моментом в развитии функционального анализа.
Так же, как возникновение дифференциального и интегрального исчисления в XVIII в. диктовалось потребностями механики и классической физики, развитие функционального анализа происходило и происходит под сильнейшим влиянием современной физики, главным образом, квантовой механики. Основным математическим аппаратом квантовой механики являются разделы математики, относящиеся по сущестну к функциональному анализу. Мы лишь вкратце укажем на имеющиеся здесь связи, поскольку изложение основ квантовой механики выходит за рамки этой книги.
