Математика ее содержание, методы и значение Том 3 - Александров А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
Особо выдающуюся роль в современной алгебре играет теория групп, которой и будет посвящена большая часть этой главы. Из других алгебраических теорий мы остановимся на теории гиперкомплексных систем, являющейся необходимым и важным этапом в историческом процессе развития понятия числа. Этими двумя теориями, конечно, далеко не исчерпывается содержание современной алгебры, но ее идеи и методы освещаются ими достаточно ясно.
Теория групп возникла из необходимости найти аппарат для изучения таких важных закономерностей реального мира, как закономерность симметрии.
Познание свойств симметрии каких-либо геометрических тел или других математических и физических объектов иногда дает ключ к выяснению строения этих тел и объектов. Однако, несмотря на всю наглядность понятия симметрии, точная и общая формулировка того, что такое симметрия, и в особенности количественный учет свойств симметрии требуют использования аппарата теории групп.§ 2,. Симметрия и преобразования
249
Теория групп возникла сравнительно давно: в конце XVIII и начале XIX в. Первоначально она развивалась лишь как вспомогательный аппарат для задачи о решении уравнений высших степеней в радикалах. Это было вызвано тем, что именно в указанной задаче впервые было замечено, что свойства равноправности, симметрии корней уравнения являются основными для решения всей задачи. В течение XIX и XX вв. важная роль закономерностей симметрии выявилась во многих других разделах науки: геометрии, кристаллографии, физике, химии. Благодаря этому методы и результаты теории групп получили широкое распространение. Поскольку каждая область приложений ставила перед теорией групп свои особенные задачи, рост числа этих областей оказывал и обратное воздействие, вызывая развитие новых отделов теории групп, приведшее к тому, что современная теория групп, являясь единой по своим основным понятиям, фактически распадается на ряд более или менее самостоятельных дисциплин: общая теория групп, теория конечных групп, теория непрерывных групп, дискретные группы преобразований, теория представлений и характеров групп. Постепенно развиваясь, методы и понятия теории групп оказались важными не только для изучения закономерностей симметрии, но и для решения многих других вопросов.
В настоящее время понятие группы стало одним из важнейших обобщающих понятий современной математики, а теория групп заняла видное место среди математических дисциплин. Выдающийся вклад в развитие теории групп и ее приложений внесли Е. С. Федоров, О. Ю. Шмидт, JI. С. Понтрягин. Исследования советских математиков в области теории групп занимают ведущее место и в современном развитии этой теории.
§ 2. СИММЕТРИЯ И ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
Простейшие виды симметрии. Начнем с напоминания простейших видов симметрии, знакомых читателю из повседневной жизни. Одним из таких видов симметрии является зеркальная симметрия геометрических тел или симметрия относительно плоскости.
Точка А пространства называется симметричной точке В относительно плоскости ос (рис. 1), если плоскость пересекает отрезок AB в его середине перпендикулярно этому отрезку. Говорят также, что точка В является зеркальным образом точки А относительно плоскости ос. Геометрическое тело называется симметричным относительно плоскости, если эта плоскость разбивает тело на две части, из которых каждая является зеркальным отражением другой относительно данной плоскости. Сама плоскость называется в этом случае плоскостью симметрии тела. Зеркальная симметрия очень распространена в природе. Например, форма человеческого тела, форма тела зверей, птиц имеет обычно плоскость симметрии.250
Глава XX. Группы, и другие алгебраические системы
Симметрия относительно прямой определяется аналогичным образом. Говорят, что точки А, В лежат симметрично относительно прямой, если эта прямая пересекает отрезок AB в его средней точке и перпендикулярна AB (рис. 2). Геометрическое тело называется симмет-
а
Рис. 1.
в
Рис. 2
ричным относительно прямой или имеющим эту прямую своей осью симметрии 2-го порядка, если для каждой точки тела симметричная
точка также принадлежит телу.
Тело, имеющее ось симметрии 2-го порядка, совмещается с собой при повороте тела вокруг этой оси на половину полного поворота, т. е. на угол в 180°.
Понятие оси симметрии естественным образом обобщается. Прямая называется осью симметрии порядка п для данного тела, если это тело совмещается с собой при повороте вокруг
оси на угол 360°. Так, правильная пирамида,
основанием которой является правильный п-уголь-ник, имеет осью симметрии порядка п прямую, соединяющую вершину пирамиды с центром основания (рис. 3).
Прямая называется осью вращения тела, если тело совмещается с собой при повороте вокруг оси на любой угол. Так, оси цилиндра и конуса, любой диаметр шара суть их оси вращения. Ось вращения является вместе с тем осью симметрии любого порядка.
Наконец, важным типом симметрии является также симметрия относительно точки или центральная симметрия. Точки А и В называются симметричными относительно центра О, если отрезок, соединяющий точки А и В, делится точкой О пополам. Тело называется симметричным относительно центра О, если все его точки распадаются на пары точек, симметричных относительно О. Примерами центрально-