Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Александров А.Д. -> "Математика ее содержание, методы и значение Том 3" -> 111

Математика ее содержание, методы и значение Том 3 - Александров А.Д.

Александров А.Д. Математика ее содержание, методы и значение Том 3 — М.: Академия наук , 1956. — 336 c.
Скачать (прямая ссылка): matemateesoderjanieiznacheniet31956.djvu
Предыдущая << 1 .. 105 106 107 108 109 110 < 111 > 112 113 114 115 116 117 .. 145 >> Следующая


Произведение преобразования А на обратное преобразование А~1 есть единичное преобразование, т. е.

AA-1 = A-1A = E.

Это непосредственно следует из определения обратного преобразования.

Рассмотренный выше пример умножения переноса плоскости на поворот показывает, что свойства произведения преобразований не всегда легко усмотреть, исходя из свойств сомножителей. Однако произведение преобразойаний вида С = В~ХАВ представляет важное исключение: свойства С здесь очень просто связаны со свойствами А и В. Именно, если элемент т множества M преобразованием А переводится в п, то «сдвинутый» посредством преобразования В элемент тВ преобразованием С переводится в «сдвинутый» элемент пВ.

Доказательство: (тВ) B~lAB = т AB = пВ.

17* 260

Глава XX. Группы, и другие алгебраические системы

Преобразование В~ХАВ называют полученным из А путем преобразования его при помощи В или сопряженным с А посредством В.

Преобразуем, например, поворот P0 плоскости около точки О при помощи переноса V. Согласно приведенному правилу, чтобы найти пары начальных , и конечных положений точек для преобразованного движения С = V-yP0V, надо сдвинуть при помощи V соответственные пары точек для преобразования P0. Так как точка О при

повороте P0 отвечает самой себе (рис. 10), то и точка OV относительно преобразования С отвечает самой себе. Далее, если точка M переводится преобразованием P в точку N, то сдвинутая точка MV будет переводиться преобразованием С в точку NV. Из рис. 10, TaKffltt образом, видно, что преобразование С будет поворотом сЙоло точки OV на тот же угол 9, что и поворот Р.

Аналогично может быть доказано, что если перенос плоскости,

характеризуемый вектором MN, преобразовать посредством поворота Po на угол 9, то получится снова перенос плоскости, характеризуемый повернутым вектором.

Указанное выше правило для отыскания преобразования В~гАВ весьма изящно формулируется также в случае, когда преобразования задаются таблицами. Пусть

, /12...л\ /12...л\

A-{aia2...aJ> " — {6&...OJ'

тогда

R ibxb2.. .6„\/1 2 . .,.л \ /1 2 .. .л \_(bx Ь2 ¦ • -ЬП\

В AB = ^1 2...n) (^a2... a J ^ Д • • • Ь J ~ W1K2... bj •

т. е. чтобы преобразовать подстановку А при помощи подстановки В, нужно все элементы верхней и нижней строк подстановки А подвергнуть преобразованию, предусмотренному подстановкой В. Например, если

, /1 2 3 4 5\ D /1 2 3 4 5\ \3 541 2/' \251 34/ '

то

UB 2В ЪВЬВЬВ\ /2 51 34\ /12345\ В АВ=\%В ъв 45 1В 2В]~\\ 4325^ ~\31 254^ '

Заметим, что хотя в общем случае произведение двух преобразований зависит от порядка сомножителей, в отдельных случаях произ-

Г §. 3. Группы преобразований

261

ведения AB и BA могут быть одинаковыми. Тогда преобразования А и В называются перестановочными или коммутирующими. Если AB = BA, то

B-1AB=B-1BA=A.

Таким образом, преобразование данной подстановки при помощи коммутирующей с ней подстановки не меняет данную подстановку.

Группы преобразований. Совокупности преобразований, характеризующих симметрию некоторой-фигуры, не могут быть произвольными, они заведомо должны обладать следующими свойствами:

1. Произведение двух преобразований, принадлежащих совокупности, само принадлежит этой совокупности.

2. Тождественное преобразование принадлежит совокупности.

Я,
• • • • • У • •
0 я
• • • • • I • •
Л-*

Рис. 11.

3. Если преобразование принадлежит совокупности, то' обратное преобразование также принадлежит совокупности.

Эти свойства оказались очень важными для изучения преобразований, ввиду чего всякую совокупность взаимно однозначных преобразований множества М, обладающую перечисленными тремя свойствами, стали называть группой преобразований множества М, независимо от того, характеризует эта совокупность симметрию некоторой фигуры или нет.

С точки зрения алгебры свойства 1—3 являются очень существенными, так как они позволяют, исходя из некоторых преобразований А, В, С,..., принадлежащих заданной совокупности, составлять различные новые преобразования вида ABAC, A-lBCB"1 и т. п., причем свойства 1—3 гарантируют, что все получаемые преобразования не выходят за пределы заданной совокупности преобразований.

Число преобразований, составляющих группу, называется порядком группы; последний может быть и конечным и бесконечным. Соответственно этому и группы разделяются на конечные и бесконечные. Выше была рассмотрена группа симметрий квадрата на плоскости. Эта группа оказалась содержащей всего восемь преобразований. С другой стороны, бесконечная совокупность точек Ai плоскости, изображенная на рис. И, преобразуется в себя следующими движениями плоскости: переносами вдоль оси OA в том и другом направлениях на расстояния, кратные расстоянию OA; отражениями относительно пунктирных прямых; отражением относительно оси OA. Отсюда видно, что группа симметрий этой фигуры бесконечная.

Совокупность преобразований, сохраняющих некоторый объект, т. е. характеризующих его симметрию, всегда является группой. Этот 262

Глава XX. Группы, и другие алгебраические системы
Предыдущая << 1 .. 105 106 107 108 109 110 < 111 > 112 113 114 115 116 117 .. 145 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed