Математика ее содержание, методы и значение Том 3 - Александров А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
Элементами циклической группы, порожденной элементом А, являются
...,А-2, А~\ Е, А, А2, ... (5)
Если А—преобразование бесконечного порядка, то все преобразования в последовательности (5) различны, и группа бесконечна. Действительно, в противном случае мы имели бы равенство вида Ak = A1 (к<^1), откуда А'~к = Е, I — что противоречит непериодич-
ности А.
Предположим теперь, что А—периодическое преобразование порядка т. Тогда
Am = E, Ат+1 = А, Ат+2=А2.....An^1 = A-1, Ат~2 = А~2, ...,
т. е. последовательность (5) состоит из одних и тех же периодически
повторяющихся преобразований Е, А, А2,____ An'"1. Они между собою
различны, так как, если бы оказалось Ak = A1 (0 I <[ т), то было бы
А1~к = Е, 0 — к<С.т, что противоречит выбору т. Следовательно, циклическая подгруппа, порожденная преобразованием порядка т, содержит ровно, т различных преобразований.
Группа, все элементы которой коммутируют друг с другом, называется коммутативной или абелевой, по имени норвежского математика Абеля, открывшего важное значение таких групп для теории уравнений.
Формулы (4) показывают, что степени одного и того же преобразования всегда коммутируют друг с другом: AmAn = AnAm = Am*". Поэтому циклические подгруппы всегда абелевы.
В арифметике чисел наряду с умножением важную роль играет действие деления. В теории групп, вследствие некоммутативности умно- §. 3. Группы преобразований
267
жения, приходится говорить о двух делениях: правом и левом. В самом деле, решение уравнения Ax = B, где А, В — данные преобразования, а X — искомое преобразование, естественно назвать правым частным, а решение уравнения у A=B — левым частным от деления В на А. Умножая обе части первого равенства на А—1 слева, а обе части второго на
справа, получим: х = А~уВ, у = BA-1. Таким образом, в качестве «чаЪтного» преобразований В и А можно рассматривать А~1B или BA—1.
На многочисленных примерах мы видели, что в группах, вообще говоря, AB=JlBA. «Частное» (AB)(BA)-1 или (BA)-^(AB) можно принять за «меру» некоммутируемости подстановок А и В. Второе из этих выражений, именно (BA)-1^(AB) = A-1B-1AB, называют коммутатором А и В и* обозначают (А, В). Из формулы
(А, В) = A-1B-1AB
следует, что коммутатор можно представлять себе и как частное от «деления» сопряженного преобразования B-1AB на первоначальное А.
Если, например, А—перенос плоскости, то сопряженное преобразование будет также переносом, а частное двух переносов, очевидно, есть перенос. Поэтому коммутатор переноса и любого движения плоскости есть перенос. Пусть А—поворот на угол 9 вокруг некоторой точки О,
а В — поворот или перенос. Тогда сопряженное преобразование будет снова поворотом на угол <р, но вокруг смещенной точки О. Следовательно, коммутатор (А, В) в рассматриваемом случае есть произведение поворота вокруг точки О на отрицательный угол <р и поворота вокруг точки О' на положительный угол <р. Из рис. 12 видно, что результирующее преобразование есть перенос под углом -Ц-—к отрезку OO'
на расстояние 2 • OO' sin -j .
Таким образом, мы приходим к интересному факту, что для плоскости коммутатор любых двух движений 1-го рода есть параллельный перенос или тождественное преобразование. Поскольку (А, В) = E означает, что AB = BА, то на плоскости любая некоммутативная группа движений 1-го рода содержит параллельные переносы.
Подгруппа, порожденная коммутаторами всевозможных элементов группы G, называется коммутантом группы G. Вспоминая соответствующие определения, можно сказать, что коммутант группы G состоит из тех и только тех ее элементов, которые можно представить в виде 268
Глава XX. Группы, и другие алгебраические системы
произведения коммутаторов. Поскольку для плоскости коммутатор любых двух движений 1-го рода есть параллельный перенос, а произведения параллельных переносов суть также параллельные переносы, можно утверждать, что коммутант группы движений плоскости 1-го рода состоит лишь из параллельных переносов.
KoMMjff^T абелевой группы состоит из единичного преобразования, так как из AB = BA следует (^4, В) = Е.
Пусть G — симметрическаятруппа всех подстановок чисел 1, 2, ... ..., п. Покажем, что коммутатор любых двух подстановок А, В всегда будет подстановкой четной. В самом деле, подстановки AB, BA, а следовательно и (BA)-*, всегда имеют одинаковую четность; тогда коммутатор (Л, В) = {ВА)~г (АВ), как произведение подстановок одинаковой четности, есть Подстановка четная.
Мы видим, что коммутант симметрической группы состоит лишь из четных подстановок. Легко можно доказать, что он совпадает со всей знакопеременной группой.
Коммутант группы G называется также производной группой и обозначается через G'; коммутант коммутанта G называется вторым коммутантом группы G и обозначается через G". Повторяя этот процесс, мы получим определение коммутанта любого порядка группы G.
Если из коммутантов группы G хотя бы один (а тогда и все последующие) состоит лишь из единичного преобразования, то группа G называется разрешимой. Название это возникло в теории уравнений, где разрешимости группы соответствует разрешимость уравнения в радикалах. Группа движений 1-го рода для плоскости разрешима, так как уже ее 2-й коммутант равен едипице. Симметрические группы 2, 3 и 4-й степени также разрешимы, поскольку их соответственно 1, 2 и 3-й коммутанты обращаются в единицу. Напротив, симметрические группы 5-й и более высоких степеней неразрешимы, так как можно доказать, что их 2-й коммутант совпадает с 1-м и отличен от единицы.
