Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Александров А.Д. -> "Математика ее содержание, методы и значение Том 3" -> 113

Математика ее содержание, методы и значение Том 3 - Александров А.Д.

Александров А.Д. Математика ее содержание, методы и значение Том 3 — М.: Академия наук , 1956. — 336 c.
Скачать (прямая ссылка): matemateesoderjanieiznacheniet31956.djvu
Предыдущая << 1 .. 107 108 109 110 111 112 < 113 > 114 115 116 117 118 119 .. 145 >> Следующая


Значение циклов в общей теории основывается на следующей теореме: всякая подстановка может быть представлена в виде произведения циклов без общих элементов, причем это представление однозначно с точностью до порядка сомножителей.

Доказательство теоремы непосредственно видно из способа такого представления. Допустим, что мы желаем разложить подстановку

А = з 21^) • Мы видим, что А переводит 1 в 4, 4 в 3, 3 в 6, 6в1.

В результате имеем первый множитель (1, 4, 3, 6). Берем оставшееся число 2 и видим, что А переводит 2 в 5, 5 в 2. Поэтому второй множитель будет (2, 5). Поскольку все числа рассмотрены, то

/123456 \ Г. . „ „. ,„ /оч

• (456321 ) = (1- 4' 3> 6H2' (2)

Разложение подстановок на циклы, имеющие общие элементы, также возможно, но уже неоднозначно. Например,

(O11O21 .. .,а,1)=(а1,а2)(а1, о3). . .(ор а„) = (о2, а3) (а2, ®4).. .(а2, aJ (а2, O1). (3)

Докажем, что каждый двойной цикл есть нечетная подстановка. Мы уже убедились в этом для цикла (1, 2). Но любой цикл (і, /) есть

/12 \

?_1(1, 2)?, где S-—любая подстановка у'""), переводящая 1 в і

и2в /. Подстановка S~'(1,2)6' есть нечетная подстановка, ибо (1, 2) нечетная, a S и S~1 одновременно или четные или нечетные.

Согласно формуле (3), цикл длины т-j- 1 может быть представлен в виде произведения т нечетных подстановок. Поэтому цикл длины т-j-1 есть подстановка нечетная, если т-\-1 четно, и четная, если m-j-1 нечетно. Это дает возможность быстро подсчитать четность подстановок, разложение которых на циклы известно. В частности, под-

Д23456\ А ,ОЧ

становка (456321) четна> так ка« она> согласно формуле (2), есть

произведение двух нечетных подстановок.

Подгруппы. Часть группы, сама являющаяся группой, называется подгруппой данной группы. Так, знакопеременная группа подстановок §. 3. Группы преобразований

265

переменных X1, х2, ...,хп является подгруппой симметрической группы подстановок этих переменных. Совокупность собственных движений плоскости есть группа, являющаяся подгруппой группы всех собственных и несобственных движений плоскости.

С формальной точки зрения единичное (тождественное) преобразование само по себе уже образует подгруппу. Точно так же и любая группу может быть рассматриваема кан своя подгруппа. Однако, кроме этих тривиальных подгрупп, почти всегда группы содержат много других подгрупп. Знание всех подгрупп данной группы дает довольно полное представление о внутреннем строении заданной группы.

Одним из распространенных^способов образования подгрупп является указание так называемых образующих подгрупп.

Пусть A1, A2,..., Am — какие-либо преобразования, принадлежащие группе G. Совокупность H всех преобразований, которые можно получить, перемножая между собой в произвольном числе заданные преобразования и преобразования, им обратные, будет группой. Действительно, единичное преобразование принадлежит к этой совокупности, так как его можно представить в виде A1A-1. Далее, если преобразования В и С можно представить в виде произведений, то, перемножая эти произведения, мы получим требуемое представление и для ВС. Наконец, если В выражается в виде произведения, например, B= А~лA2A1A1A-1, то и В—1 можно представить в виде требуемого произведения, так как В-1 = A2A-1 A-1A-1A1.

Группа H является, очевидно, подгруппой группы G и называется подгруппой, порожденной преобразованиями Ax, ...,Am, а сами преобразования A1,..., Am называются образующими подгруппы Н. Может случиться, что H совпадает с G, тогда A1,..., Am называются образующими самой группы G. Нетрудно убедиться на примерах, что одна и та же подгруппа может порождаться самыми различными системами образующих.

Подгруппа, порождаемая одним преобразованием А, называется циклической подгруппой. Ее элементами являются преобразования

Е, А, AA, AAA,..., А~\ A-1A-1, A-1A-1A'1,...,

которые, естественно, называются степенями преобразования А. Именно: E=A0, A = A1, AA = A2,..., A-1A^ = A'2, A-1A-1A^=A-3,...

Легко доказывается, как в обычной арифметике, что

AmAn = Ат+" и (Am)" = Am". (4)

Преобразование называется периодическим, если некоторая его положительная степень равна тождественному преобразованию. Наименьший положительный показатель степени, в которую нужно возвести периодическое преобразование, чтобы получить тождественное, назы- 266

Глава XX. Группы, и другие алгебраические системы

вается порядком преобразования. Условио говорят, что порядок непериодического преобразования бесконечен.

Рассмотрим несколько примеров. Пусть А — поворот плоскости 360°

вокруг точки О на , где п — данное положительное целое число,

360°

большее единицы. Тогда A2 будет поворотом на угол 2—^-, A3—пово-

360<4 360°

ротом на 3 j А"-1 — поворотом на (и—-1)-^-, An — поворотом на

360°, т. е. будет тождественным преобразованием. Это показывает, что

360° -

поворот на есть периодическое преобразование порядка п.

Пусть А — перенос плоскости ^вдоль некоторой прямой.-Тогда A21 А3, ... будут также переносами вдоль той же прямой соответственно на двойное, тройное и т. д. расстояния. Поэтому никакая положительная степень А не есть тождественное преобразование, и порядок А бесконечен.
Предыдущая << 1 .. 107 108 109 110 111 112 < 113 > 114 115 116 117 118 119 .. 145 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed