Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Александров А.Д. -> "Математика ее содержание, методы и значение Том 3" -> 112

Математика ее содержание, методы и значение Том 3 - Александров А.Д.

Александров А.Д. Математика ее содержание, методы и значение Том 3 — М.: Академия наук , 1956. — 336 c.
Скачать (прямая ссылка): matemateesoderjanieiznacheniet31956.djvu
Предыдущая << 1 .. 106 107 108 109 110 111 < 112 > 113 114 115 116 117 118 .. 145 >> Следующая


способ задания групп в виде групп симметрий принадлежит к числу важнейших. По этому принципу получаются наиболее важные группы. К ним прежде всего следует отнести группы движений плоскости и пространства. Большой интерес представляют также группы симметрий правильных многогранников. Как известно, в пространстве существует всего пять типов правильных многогранников (4, 6, 8, 12 и 20-гран-ники). Беря какой-либо из правильных многогранников и рассматривая все движения пространства, совмещающие'данный многогранник с собой, мы получим группу — группу симметрий этого многогранника. Если вместо всех движений рассматривать только движения 1-го рода, совмещающие многогранник с самим собой, то получим опять группу, являющуюся частью цолндр группы симметрий многогранника. Эта группа называется группсЯі вращений многогранника. Поскольку при совмещении многогранника с собой его центр также совмещается с Самим собой, то все движения, входящие в группу симметрий многогранника, оставляют неподвижным центр многогранника и потому могут быть только или поворотами около осей, проходящих через центр, или отражениями относительно плоскостей, проходящих через центр, или, наконец, отражениями в таких плоскостях, сопровождаемыми поворотами вокруг осей, проходящих через центр и перпендикулярных к этим плоскостям.

Пользуясь этим замечанием, легко найти все группы симметрий и группы вращений правильных многогранников. В табл. 1 указаны порядки групп симметрий и групп вращений правильных многогранников. Все эти группы являются конечными.

Таблица 1

Число граней......... 4 6 8 12 20
Порядок группы симметрий . . 24 48 48 120 120
Порядок группы вращений . . 12 24 24 60 60

Группы подстановок. Из групп преобразований исторически первыми рассматривались в математике, группы подстановок переменных X1, X2,..., хп в многочленах от этих переменных. Рассмотрение таких групп тесно связано с вопросом о решении в радикалах уравнений высших степеней. Очевидно, что совокупность всех подстановок переменных, не меняющих значений одного или нескольких многочленов от этих переменных, является группой. Многочлены, не меняющиеся при всех подстановках переменных, называются симметрическими многочленами. Например, X1 х2 -}-... х„ есть симметрический многочлен. Соответственно, совокупность всех подстановок дан- §. 3. Группы преобразований

263

ного множества переменных называется симметрической группой подстановок этого множества.

Число переставляемых переменных называется степенью симметрической группы. Вместо подстановок переменных X1,..., хя можно рассматривать просто подстановки чисел 1, 2,..., п. Так как каждую

/12 ...п\

подстановку чисел можно записать в виде I , где а,,а2,...,а.—

числа 1, 2,..., п, записанные в некотором порядке, то число всех подстановок равно числу перестановок п элементов, т. е. порядок симметрической группы равен п\ =. 1 • 2 • 3 ... п. Этот порйдок очень быстро растет 0| степенью п, и порядок группы подстановок 10 переменных равен ^ке 3 628 800.

Рассмотрим многочлен

F to.....»„) =

— (х2 хі)(хз— xi)' • -(xM хі)(хз — хг)- • -(x» — хг)- ¦ -ixn — хп—і)- (1)

ч

Ясно, что каждая подстановка переменных или оставляет величину многочлена F неизменной или меняет лишь его знак. Подстановки первого рода называются четными. Подстановки, меняющие знак F, называются нечетными. Совокупность четных подстановок образует группу симметрий многочлена' (1). Она называется знакопеременной группой подстановок.

Произведение двух четных подстановок есть четная подстановка, ибо четные подстановки образуют группу. Произведение двух нечетпых подстановок есть подстановка четная.

Действительно, если А и В — почетные подстановки, то

FAB = (FA)B = (—F)B - — (-F)=F.

Таким же образом доказывается, что произведение четной и нечетной подстановок есть нечетная подстановка и что подстановка обратная к четной или нечетной подстановке есть подстановка той же четности.

Примером нечетной подстановки может служить подстановка

с (Ї, 2, 3,..., п\ . _

Л = ^2 1 3 п/ ' меняюЩая местами элементы 1 и Z.

Разложение подстановок на циклы. При изучении групп подстановок большое значение имеет представление подстановок в виде произведений так называемых циклов. По определению символом (m,, т2,..., mt) обозначается подстановка, переводящая т1 в т2, т2 в т3,..., в тк, тк снова в т1, а все остальные элементы рассматриваемого множества оставляющая на месте. Так, например, если рассматриваются подстановки чисел 1, 2, 3, 4, 5, то 264

Глава XX. Группы, и другие алгебраические системы

Подстановка вида (m,, т2, ..., щ) называется циклической или циклом длины k; ти т2,...,ть называются элементами цикла. Единичная подстановка условно записывается в виде циклов (1) = (2) = ... длины 1. Циклы длины 2 называются транспозициями. Переставляя элементы цикла в циклическом порядке, мы получаем ту же самую подстановку, например (1, 2, 3) = (2, 3, 1) = (3, І, 2), (5, 6) = (6, 5).

Легко проверяется, что циклы без общих элементов, например (2, 3) и (1, 4, 5), являются коммутирующими подстановками, и поэтому при перемпожении таких циклов можно не обращать внимания на порядок сомножителей в произведении.
Предыдущая << 1 .. 106 107 108 109 110 111 < 112 > 113 114 115 116 117 118 .. 145 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed