Математика ее содержание, методы и значение Том 3 - Александров А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
Рис. 3. § 2,. Симметрия и преобразования
251
симметричных тел могут служить шар и куб, центры которых являются их центрами симметрии (рис. 4).
Знание всех плоскостей, осей и центров симметрии тела дает довольно полное представление о свойствах его симметрии.
Однако понятие симметрии имеет смысл не только в применении к геометрическим фигурам. Например, имеет совершенно ясный смысл утверждение, что в многочлене X13 -{- х23 X33 X43 переменные Xv х2, х3, Xi входят симметрично, а в многочлене X13 -j- X22 -j- Xg2 -j- X43 входят симметрично переменные X1 и х4, X2 и х3, в то время как, например, переменные X1 и X2 играют различную роль. Число таких примеров можно легко увеличить. Это заставляет поставить важный вопрос: что же такое симметрия в общем случае и как можно математически учитывать отношения симметрии? Оказывается, точный ответ на этот вопрос связан с понятием преобразования, которое уже много раз встречалось в этой книге, начиная с самых первых ее глав. Чтобы
иметь возможность дать общее рис 4
определение симметрии, охватывающее такие разнородные случаи, как симметрия пространственных тел и симметрия многочленов, необходимо и понятие преобразования сформулировать в очень общем виде.
Преобразования. Пусть M обозначает конечную или бесконечную совокупность совершенно произвольных объектов. Например, M может быть совокупностью чисел 1, 2, . . . , п, совокупностью независимых переменных X1, х2, X3, х4, множеством всех точек плоскости. Если каждому элементу множества M поставлен в соответствие вполне определенный элемент того же множества, то говорят, что задано преобразование множества М. Каждое преобразование конечного множества M можно задать посредством таблицы, состоящей из двух строк: в верхней строке пишутся в произвольном порядке обозначения элементов множества M и под каждым из них записывается обозначение соответствующего ему элемента. Например, таблица 3 2 l) °®03начает nPe"
образование совокупности чисел 1, 2, 3, 4, при котором числа 1, 2, 3, 4 переходят соответственно в числа 2, 3, 2, 1. Располагая в верхней строке числа 1, 2, 3, 4 в порядке 3, 4, 1, 2, мы можем то же
самое преобразование записать и таблицей (2123)"
Если множество M бесконечно, но имеется возможность перечислить (перенумеровать) его элементы, расположив их обозначения в одну 252
Глава XX. Группы, и другие алгебраические системы
строку (например, если M есть множество всех чисел натурального ряда 1, 2, 3,...)., то преобразование можно задавать аналогичным образом.
Изучая преобразования, нужно ввести для них целесообразные обозначения. Будем обозначать преобразования просто буквами А, В и т. д., причем если какое-либо преобразование множества M будет обозначено буквой А, то через тА, где т — произвольный элемент из М, будет обозначаться образ элемента т, т. е. тот элемент, в который
, /1 2 3 4\
переходит т при преобразовании А. Пусть, например, = \ 2 3 2 1 /* тогда
IA = 2, 24 = 3, 34 = 2, 44 = 1.
Укажем несколько преобразований, играющих важную роль в геометрии.
Выберем в пространстве какую-либо прямую а и поставим в соответствие каждой точке P пространства точку Q, получаемую путем поворота точки P вокруг оси а на фиксированный угол 9 (рис. 5). Тем самым мы определили преобразование совокупности всех точек пространства, называемое поворотом пространства на угол 9 вокруг оси а.
Заметим, что слово «поворот» в механике означает некоторый процесс, в результате которого точки тела переходят в новое положение.
Иг /И»
P
P / /
^ /
Є
Рис. 5. Рис. 6.
Здесь же термин «поворот» употребляется в смысле преобразования пространства. При этом отвлекаются от самого процесса движения и рассматривают только его конечный результат — соответствие начального и конечного положения точек.
Другим важным преобразованием пространства является параллельный перенос всех точек в данном направлении на заданное расстояние. Из рис. 6, на котором для произвольных точек P1, P2, P3 указаны соответствующие точки Q1, Q2, Q3, видно, что, зная при параллельном переносе соответственную точку лишь для одной точки пространства, можно найти соответственные точки для всех других точек пространства. § 2,. Симметрия и преобразования
253
Выше были определены понятия плоскости, оси и центра симметрии пространственной фигуры. Каждому из этих понятий отвечает определенное преобразование пространства: отражение относительно плоскости, вращение относительно прямой и отражение относительно центра. Например, отражение относительно плоскости есть преобразование, при котором каждой точке пространства ставится в соответствие точка, симметричная относительно этой плоскости. Аналогично определяется вращение относительно прямой и отражение относительно центра.
Мы говорили о преобразованиях пространства. Соответствующие преобразования плоскости: поворот плоскости вокруг ее точки на данный угол, параллельный перенос плоскости по самой себе в данном направлении, отражение относительно прямой, лежащей в плоскости, — определяются аналогичным образом и являются еще более наглядными, чем аналогичные преобразования пространства.
