Математика ее содержание, методы и значение Том 3 - Александров А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
В квантовой механике состояние системы задается при ее математическом описании вектором гильбертова пространства. Такие величины, как энергия, импульс, момент количества движения, исследуются с помощью самосопряженных операторов. Например, возможные энергетические уровни электрона в атоме вычисляются как собственные значения оператора энергии. Разности этих собственных значений дают частоты излучаемого атомом света, определяя, таким образом, структуру спектра излучения данного вещества. Соответствующие состояния электрона описываются при этом как собственные функции оператора энергии.
Решение задач квантовой механики часто требует вычисления собственных значений различных (обычно дифференциальных) операторов. В сколько-нибудь сложных случаях точное решение этих задач оказывается практически невозможным. Для приближенного решения этих задач широко используется так называемая теория возмущений, позволяющая по уже известным собственным значениям и функциям некоторого самосопряженного оператора А находить собственные значения 246
Глава JLlJL. Функциональный анализ
мало отличающегося от него оператора Ar Отметим, что теория возмущений далека от полного математического обоснования, которое является интересной и важной математической проблемой.
Независимо от приближенного определения собственных значений часто можно много сказать о данной задаче при помощи качественного исследования. Это исследование в задачах квантовой механики проводится на основе имеющихся в данной задаче симметрий. Примерами таких симметрий могут служить свойства симметрии кристаллов, сферическая симметрия в атоме, симметрия относительно отражений и др. Так как симметрии образуют группу (см. главу XX), то групповые методы (так называемая теория представлений групп) дают возможность ответить без вычислений на ряд вопросов. Укажем, например, на классификацию атомных спектров, ядерные превращения и другие вопросы.
Таким образом, квантовая механика широко использует математический аппарат теории самосопряженных операторов. В то же время продолжающееся в настоящее время развитие квантовой механики приводит к дальнейшему развитию теории операторов, ставя перед этой теорией новые задачи.
Влияние квацтовой механики, а также и внутриматематическое развитие функционального анализа, привело к тому, что в последние годы алгебраические проблемы и методы стали играть значительную роль в функциональном анализе. Это усиление алгебраических тенденций в современном анализе не лишне сопоставить с возросшим значением алгебраических методов в современной теоретической физике по сравнению с методами физики XIX в.
В заключение подчеркнем еще раз, что функциональный анализ является одним из интенсивно развивающихся разделов современной математики. Его связи и применения в современной физике, дифференциальных уравнениях, приближенных вычислениях и использование общих методов, выработанных в алгебре, топологии, теории функций действительного переменного и т. п. делают функциональный анализ одним из основных узлов современной математики.
ЛИТЕРАТУРА Университетские учебники
Колмогоров А. Н. и Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа, вып. 1. Метрические и нормированные пространства. Изд-во МГУ, 1954.
Курант Р. и Гильберт Д. Методы математической физики, т. I. Гостех-издат, 1951.
В книге, наряду с другим материалом, изложены связи теории колебаний с теорией собственных значений. Люстерник Л. А. и Соболев В. И. Элементы функционального анализа. Гостехиздат, 1951. Литература
247
Рисс Ф. и Секефальви-Надь Б. Лекции по функциональному анализу. ИЛ, 1954.
Книга, требующая от читателя значительной математической подготовки.
Шилов Г. Е. Введение в теорию линейных пространств. Изд. 2, Гостехиздат, 1956.
Для чтения этой книги достаточно знании основ анализа и аналитической геометрии.
Литература, относящаяся к вопросам, затронутым
в конце главы
Ван дер Варден Б. Метод теории групп в квантовой механике. Харьков, 1938.
Гельфанд И. М. и Шапиро 3. Я. Представления группы вращений трехмерного пространства и их применения. Успехи матем. наук, 7, № 1, 3—117, 1952.
Ландау Л. О. и Лифшиц Е. А. Квантовая механика. Гостехиздат, 1948. Глава XX
ГРУППЫ И ДРУГИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ
§ 1. ВВЕДЕНИЕ
В главе IV (том 1), посвященной алгебре многочленов, уже шла речь об основных путях развития алгебры, ее месте среди других математических дисциплин, об изменениях во взглядах на самый предмет алгебры. Цель настоящей главы заключается в том, чтобы дать читателю представление о тех новых алгебраических теориях, которые, возникнув еще в прошлом веке, достигли полного развития в текущем столетии и оказали большое влияние на современные математические исследования.
Современная алгебра, так же как классическая, есть учение о действиях, о правилах вычислений. Но она не ограничивается изучением свойств действий над числами, а стремится изучать свойства действий над элементами все более общей природы. Эта тенденция диктуется потребностями практики. Так, в механике складываются силы, скорости, повороты. В линейной алгебре (см. главу XVI), идеи и методы которой находят широкое применение в практических расчетах, областью действий являются матрицы, линейные преобразования, векторы n-мерного пространства.
