Математика ее содержание, методы и значение Том 2 - Александров А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
f(x) — o(x; ос0, X1,. . ., хт)
достигается по меньшей мере в т-\- 2 точках отрезка [а, Ъ] с последовательной переменой знака (рис. 9).
Мы не можем здесь останавливаться на точной формулировке тех условий, при которых это утверждение имеет место, отсылая более подготовленного читателя к статье В. Jl. Гончарова «Теория наилучшего приближения функций» («Научное наследие П. Л. Чебышева», т. I).
Случай приближения функций многочленами. Особенно важное общетеоретическое значение имеет применение изложенных выше иссле-
Т: і і V -v і і і і I I I I I : X
0 a -TlJT2Xj Xi Xs Xf Ь
Рис. 9. Я 04
Глава XII. Приближение функций
дований Tl. JI. Чебышева к вопросу о приближении произвольной функции /(.г) на заданном отрезке [а, 6] при помощи многочленов Pn (X) = а0 + ахх -f- а2х2 -}-... -}- апз? данной стенени п. Многочлены Pn (ж) степени п образуют семейство функций, зависящих от п-1-1 их коэффициентов — параметров. К многочленам, как это можно доказать, полностью применима теория Чебышева, так что, если надо узнать, приближает ли равномерно наилучшим образом заданный многочлен Pn (ж) функцию /(х) на отрезке \а, Ь] среди всевозможных многочленов данной степени п, нужно найти все те значения х на этом отрезке, для которых функция I f(x) — Р„ (х) I достигает своего максимума L на [а, Ь].
Если при этом среди них можно указать п2 значения X1, хч,...,хп+2, таких, что в них разность f(x) — P„(.t) последовательно меняет знак
/(X1)-Pu (X1)= ±L, /(x2)-pn(xi)= +l,
/ (x„+i) - Pn (х„+2) = ± (-1 )«+•/„ Рис. 10. то Рп(х) есть наилучший многочлен:
в противном случае Pn (х) не есть наилучший многочлен. Например, решением задачи о наилучшем равномерном приближении при помощи многочленов- P Х(х) = р -{- дх первой степени функции f(x), изображенной на рис. 10, является тот из этих многочленов р„~г-Я» X, график которого есть прямая, параллельная хорде AB п делящая на равные части иараллелограм, заключенный между этой хордой и параллельной ей касательной CD к кривой y = j(x), так как, очевидно, абсолютная величина разности f(x) —
— (Рі> + Я»х) ¦ достигает своего максимума для значений
: a, x1 и
х., = Ь, где X1 — абсцисса точки касания F, а сама разность для этих значений последовательно меняет знак. Заметим, чтобы не было недоразумений, что речь здесь шла о выпуклой книзу кривой, имеющей во всех своих точках касательную. Б этом примере Ei (/) равно поло-випе длины отрезка AC или равных ему отрезков BD пли GF.
§ 5. МНОГОЧЛЕНЫ ЧЕВЫ111ЕВА, НАИМЕНЕЕ УКЛОНЯЮЩИЕСЯ ОТ НУЛЯ
Рассмотрим следующую задачу. Требуется найти многочлен Р„_х(х) степени п — 1, наилучшим образом равномерно приближающий на отрезке I—1, Ij функцию х".
Оказывается, искомый многочлен таков, что для него выполняется равенство
.г"-zv1(x)
1
2"—1
cos п arccosx.
(16)
Чисто формально этот факт вытекает из теоремы Чебышева, если предварительно убедиться в том, что правая часть (16), во-первых, § 5. Многочлены Чебышева, наименее уклоняющиеся от нуля
305
есть алгебраический многочлен га-й степени с коэффициентом при х", равным единице; во-вторых, ее абсолютная величина на рассматривае-
мом отрезке [—1, -|-1] достигает максимума, равного L = 2и_1 в га-j-1
точках Xk= cos (к = 0, 1, ..., га); и, в-третьих, сама она в этих точках последовательно меняет знак.
В том, что правая часть (16) есть многочлен степени п с коэффициентом при х", равным единице, можно убедиться при помощи следующего рассуждения.
Допустим, что для данного натурального числа га уже доказана справедливость равенств
cos п arc cos х = 2И_1 [хп — Q„_г (х)], — \/1 — X2 sin га arc cos х = 2И_1 [хя+1 — Qn (x)\,
где и Qn — алгебраические многочлены соответственно степеней
га — 1 и п. Тогда подобные равенства имеют место и для га-(-1, как в этом легко убедиться из рассмотрения следующих формул:
cos (га -(- 1) arc cos х = х cos га arc cos х — \Ji — х2 sin п arc cos х,
— Vl — X2 sin (« + 1) arc cosa: =
—X Vl — X2 sin га arc cos x -(- (x2 — 1) cos ra arc cos x.
Ho наши равенства при n = 1 справедливы, так как
cos arc cos x = х, — Vl — x2sin arc Cosa: = «2—1.
В таком случае они справедливы и для любого п.
Правая часть (16) называется многочленом Чебышева степени п, наименее уклоняющимся от нуля, по имени П. JI. Чебышева, впервые поставившего и решившего эту задачу. Вот первые из этих многочленов:
T0(x) = 1, T1 (х) = х, т2(х) = ±(2х2-1),
!T3 (х) = 1 (4x3-Зх),
T4 (х) = 1(8х* — 8х2 + 1),
T5 (X) = (16X5 — 20Х3 + 5х).
20 Математика, т. 2 "306
Глава XII. Приближение функций
Мы уже имели случай убедиться в важной роли многочленов Чебышева в вопросах интерполяций и приближенных методов интегрирования. По поводу интерполяций здесь будет уместно сделать дальнейшие пояснения.
14з того, что разность f(x)— Р„(х) между произвольной непрерывной функцией f(x) и наилучшим приближающим ее многочленом Pn (х) меняет знак в п-\-2 точках, следует в силу свойства непрерывной функции, что Р„(х) совпадает с f(x) в некоторых определенных п-\~\ точках отрезка [а, Ь\, т. е. Р„(х) есть интерполяционный многочлен п-й степени для f(x) при некотором выборе узлов.
