Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Александров А.Д. -> "Математика ее содержание, методы и значение Том 2" -> 125

Математика ее содержание, методы и значение Том 2 - Александров А.Д.

Александров А.Д. Математика ее содержание, методы и значение Том 2 — Москва, 1956. — 397 c.
Скачать (прямая ссылка): matemateesoderjaniemetodiiznachenie1956.djvu
Предыдущая << 1 .. 119 120 121 122 123 124 < 125 > 126 127 128 129 130 131 .. 157 >> Следующая


і

г/2 ,

= j /' (x)dx по крайней мере с точностью до постоянного множителя.

о

Представим себе теперь, что нам понадобилось функцию f(x) приблизить другой функцией <р(ж). Наряду с нашей струной мы будем рассматривать струну, форма которой определяется функцией о (х), и еще третью струну, определяемую функцией f(x) — ф (ж). Можно показать, что если энергия

I

j \f>{x)-~<t'(x)?dx (28)

о

третьей струны мала, то тем более будет мала разность энергий первых двух струн1. Поэтому, если цам важно, чтобы вторая струна имела энергию, мало отличающуюся от первой, мы должны стремиться к нахождению такой функции <р' (х), для которой интеграл (28) был бы по возможности мал. Мы естественным образом пришли к задаче о приближении функции (в данном случае f (х)) в смысле среднего квад-ратического.

Вот как эта задача в общем виде ставится. На отрезке [а, Ь] задана функция F (х) и, кроме того, функция

Ф(ж; эс0, X1.....ос„), (29)

зависящая не только от х, но и от параметров <х0, Oc1,..., ос„. Требуется, меняя всевозможным образом эти параметры, подобрать их так, чтобы интеграл

і,

j^Oz) — Ф(ж; OC0, OC1,..., xv)fdx (30)

1 В самом деле, если

і і j f2dx s? Мг и j ф,2dx Mг,

то

j* f'2dx — J ф'2 dx s; О О I

i/'2^ + j/~jv2<**)| |/'2^- |/"/ф'2й« ss 2jwj/ /</'-ф')2<ь.

(см. неравенство Минковского, например, в книге H. И. Ахиезера «Лекции по теории аппроксимации», в главе ], стр. 11). § 8. Приближение е смысле среднего квадратического

319

оказался наименьшим среди возможных. Эта задача очень похожа по идее на задачу Чебышева. Здесь тоже речь идет о наилучшем прибли* жении функции F (х) при помощи функций семейства (29), но только в смысле среднего квадратического. Для нас теперь неважно, чтобы разность F — Ф была мала для всех значений х из отрезка [а, 6]; на протяжении очень малой его части разности F — Ф разрешается быть даже большой, лишь бы интеграл (30) был мал, как это, например, имеет место для двух графиков, изображенных на рис. 14. Малость величины (30) говорит о том, что в среднем на подавляющей части промежутка функции/1 иФблизки Ч Что касается выбора на практике того или другого метода, то тут все зависит от тех целей, которые Мы ставим. В только что рассмотренном примере со струной естественно приближать функцию f (X) в смысле среднего квадратического. С другой стороны, метод среднего квадратического не мог удовлетворить П. JI. Чебышева при решении его задач, связанных с конструированием механизмов, так как если поверхность проектируемой детали машины будет хотя бы на самом малом участке значительно выходить за пределы установленного допуска, то такая деталь заведомо не годится: один такой выступ испортит всю машину. Поэтому Чебышев должен был разработать новый математический метод, соответствующий поставленной им практической задаче,

Нужно сказать, что с вычислительной точки зрения метод среднего квадратического является более доступным, так как он сводится к применению хорошо разработанных методов общего анализа.

Для примера рассмотрим следующую характерную задачу. Требуется приблизить наилучшим образом в смысле среднего квадратического на отрезке [а, Ъ] заданную непрерывную функцию f(x) при помощи сумм вида

и

2 0? <р» (aO. і

где Xk— постоянные числа, а функции ук(х) непрерывны и образуют ортогональную и нормальную систему.

1 В главе XIX (том 3) мы увидим, что имеется глубокая аналогия между близостью функций в смысле среднего квадратического и расстоянием точек в обычном пространстве. "320

Глава XII. Приближение функций

Последнее означает, что имеют место следующие равенства: ь

[<pkftdx = 0 кфі (к, I = 1, 2,..., п),

\^ldx = 1 (A=l, 2,..., п).

а

Введем в рассмотрение числа

ъ

ak = \f(x)<pk(x)dx (A = I1..., п).

Число ак называется Коэффициентом Фурье функции / относительно <pt.

Для произвольных коэффициентов Xfc на основании свойств ортогональности а нормальности ^ имеет место равенство

f I " V Г

J (/-2??! dx = \fdx-\-2?-2 2?? =

ъ

I fdx-JiCil

+2(?-?)2.

Первое слагаемое правой части полученного равенства не зависит от чисел Поэтому правая часть будет наименьшей при таких а„, при которых второе слагаемое будет самым малым, а это, очевидно, может произойти лишь, если числа оIk соответственно равны коэффициентам Фурье ак. ,

Итак, мы пришли к следующему важному результату. Если функции ук образуют ортогональную и нормальную систему на отрезке [а, 6],

к

то сумма 2 аї ?* (х) будет наилучшим образом в смысле среднего квад-

ратического приближать функцию /(ж) на этом отрезке тогда и только тогда, когда числа 0? являются коэффициентами Фурье функции j относительно 9? (х).

На основании равенств (23) легко убедиться в том, что функции

1 cosa: sin ж cos 2х

V2n ' Vn ' Vn ' Vk '" '

образуют ортогональную и нормальную систему на отрезке [0, 2п]. Поэтому высказанное утверждение применительно к тригонометрическим функциям выглядит следующим образом.

Сумма Фурье Sn (ж), вычисленная для заданной непрерывной функции f(x) периода 2тс, наилучшим образом в смысле среднего квадратп-ческого приближает на отрезке [0, 2-к] функцию /(ж) среди тригоно- § 8. Приближение е смысле среднего квадратического
Предыдущая << 1 .. 119 120 121 122 123 124 < 125 > 126 127 128 129 130 131 .. 157 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed