Математика ее содержание, методы и значение Том 2 - Александров А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
вида (21). Вопрос этот был поставлен еще в XVIII в. JI. Эйлером и Д. Бернулли в связи с исследованиями Д. Бернулли, относящимися к колеблющейся струне. При этом Д. Бернулли стоял на точке зрения, подсказанной ему физическими соображениями, в силу которой надо считать, что для весьма обширного класса непрерывных функций, содержащего в себе, в частности, нарисованные от руки графики, возможно разложение их в виде тригонометрических рядов. Эта точка зрения встретила резкие возражения со стороны многих математиков — современников Д. Бернулли. Они цепко держались за существовавшие тогда представления о функции, в силу которых функция, если она представляется аналитическим выражением (каким является тригонометрический ряд), должна обладать хорошими дифференциальными свойствами. Но функция, изображенная на рис. 12, в точке ? не имеет даже производной; может ли в таком случае ей соответствовать определяющее ее на всем отрезке [О, /] одно и то же аналитическое выражение?
Теперь мы знаем, что именно физическая точка зрения Д. Бернулли была правильной. Но для того чтобы она окончательно восторжествовала, потребовалось еще целое столетие, так как для полного разрешения этих вопросов надо было прежде всего уточнить основные понятия математического анализа, такие, как предел и связанное с ним понятие суммы ряда.
Фундаментальные математические исследования, подтвердившие физическую точку зрения, базирующиеся, впрочем, еще на старом понимании основных понятий анализа, были выполнены в 1807—1822 гг. французским математиком Фурье.
Наконец, в 1829 г. немецкий математик Дирихле доказал со всей строгостью, которая предъявляется в современной математике, что всякая непрерывная функция периода имеющая на периоде конечное
число максимумов и минимумов, единственным образом разлагается в сходящийся к ней и притом равномерно тригонометрический ряд Фурье2.
IIa рис. 13 изображена функция, подчиняющаяся условиям Дирихле. Это непрерывный график периодически, с периодом 2тс, повто-
1 Функция / (ж) имеет период ш, если она удовлетворяет равенству / (ж-f (о)=/ (ж).
2 На- самом деле теорема Дирихле охватывает также и некоторый класс разрывных функций, так называемых функций ограниченной вариации. Для разрывных функций, конечно, соответствующий ряд сходится неравномерно. "314
Глава XII. Приближение функций
ряющийся и имеющий на периоде 0^ж<2тс одну точку максимума и одну точку минимума.
Коэффициенты Фурье. В дальнейшем мы будем рассматривать функции периода 2тс, что даст некоторые небольшие технические упрощения. Рассмотрим какую-либо непрерывную функцию /(ж) периода 2тс, удовлетворяющую условию Дирихле. На основании теоремы Дирихле ее можно разложить в сходящийся к ней равномерно тригонометрический ряд
со
j (х) = -(- 2 (ak cos kx -(- Ьк sin kx). (22)
к=і
То обстоятельство, что мы обозначили начальный член ряда через -у,
а не через а0, не имеет принципиального значения, но зато вносит, как мы увидим, чисто технические удобства.
Поставим задачу: вычислить коэффициенты ак и Ьк ряда по заданной функции /(ж). Для этого заметим, что имеют место следующие равенства:
[ cos kx cos Ix dx = 0 к, I = 0, 1, . . .),
—•Я
j sinfccsinIx dx = 0 (A=^/; к, / — 0,1,...),
1С
j sin kx cos Ix dx = 0 (A,/ = 0,1,2,...), (23)
—TC
П
j cos"lkx dx = r: (Jc = 1, 2, . . .),
I Sin2Axrfx = TC (A =1,2, . . .),
которые мы предлагаем проверить самому читателю. (Эти интегралы легко вычислить, сводя произведения различных тригонометрических функций к их суммам и разностям, а квадраты их — к выражениям, составленным из соответствующих тригонометрических функций от двойного угла.) Приведенные равенства выражают, что взятый по периоду интеграл от произведения двух любых различных функций из последовательности 1, cos х, sin ж, cos2x, sin 2ж, ... равен нулю (это так называемое свойство ортогональности тригонометрических функций). iSV 7. Ряды Фурье
315
С другой стороны, интеграл от квадрата каждой из функций этой последовательности равен тс. Исключение составляет первая функция — тождественная единица. Интеграл от ее квадрата по периоду равен 2тс. Это обстоятельство и приводит к целесообразности представления начального числа ряда (22) в виде -у- .
Теперь мы можем легко решить нашу задачу. Чтобы вычислить коэффициент ат, помножим левую часть и каждый член правой части нашего ряда (22) на cos тож и проинтегрируем почленно левую и правую части по периоду 2тс, что законно, так как полученный после умножения на cos тх ряд равномерно сходится. На основании равенств (23) все интегралы в правой части, за исключением интеграла, соответствующего cos тх, будут равны нулю, поэтому очевидно
TZ
J / (х) cos тх dx = а„,тс,
—TZ
откуда
1 г
nm=z— I / (ж) cos тх dx (то = 0,1,2,...). (24)
—TZ
Аналогично, умножая левую и правую части (22) на sin тх и интегрируя по периоду, получим выражения для коэффициентов
ТЕ
1 г
&„, = — /(ж)sinтожбй (то=1, 2, ...), (25)
и мы нашу задачу решили. Числа ат и ЬП1, вычисленные по формулам (24) и (25), называются коэффициентами Фурье функции f(x).
