Математика ее содержание, методы и значение Том 2 - Александров А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
Глубокие идеи наилучшего приближения Чебышева и теоремі Вейерштрасса послужили базой для развития (с начала нашего столе тия) нового современного направления теории приближения функций Отметим в связи с этим имена С. Н. Бернштейна, Бореля, Джексона, Лебега и Балле Пуссена. Коротко это направление можно охарактеризовать следующими словами. В то время как в чебышевский период (до начала нашего столетия), как правило, ставились задачи о приближении индивидуальных функций, для современного периода характерна задача о приближении многочленами или другими приближающими функциями, где в качестве приближаемой функции фигурирует! не отдельная заданная функция, а произвольная функция, принадлежащая к более или менее обширному классу функций (аналитически, дифференцируемых и т. д.).
Русская математическая школа, а теперь советская математическая школа теории приближений играет в этой теории ведущую роль. Большой вклад в эту теорию внесли наши соотечественники С. Н. Берн-штейн, А. Н. Колмогоров, М. А. Лаврентьев и их ученики. По существу эта теория в наше время развилась в самостоятельную ветвь теории функций.
Кроме алгебраических многочленов, другим весьма важным средством приближения являются тригонометрические полиномы. Тригонометрическим полиномом порядка п называется функция вида
Un (X) = OL0 OL1 COS X —|— fij sin X —|— OC2 cos 2х -}- ?2 sin 2х -}- . . .
. . . -}- <Х„ cos ПХ + fin sin пх,
или короче
Il
ип (х) = 2с0 + 2 (? cos kx -f- % sin kx), fc=l
где OLk, (?-—некоторые постоянные.
Существуют различные частные методы приближения тригонометрическими полиномами; эти методы довольно простым образом связаны ¦с соответствующими методами приближения при помощи алгебраически! многочленов. Среди этих методов особо важное место занимает разложение функций в тригонометрический ряд Фурье (рядам Фурье посвящен § 7). Этот ряд назван по имени французского математика Фурье, 289
который в начале прошлого столетия получил относящиеся к этим рядам теоретические результаты, связанные с его работами по теории распространения тепла. Однако надо отметить, что тригонометрические ряды рассматривались еще в середине XVIII века великими математиками Леонардом Эйлером и Даниилом Бернулли. У Эйлера они появлялись в связи с его работами в области астрономии, а у Д. Бернулли — в связи с исследованиями колеблющейся струны. Кстати сказать, Эйлеру и Д. Бернулли принадлежит постановка вопроса принципиального значения о возможности изображения при помощи тригонометрического ряда более или менее произвольной функции, — вопроса, который был окончательно разрешен только в середине прошлого столетия. Положительное его разрешение, о котором мы еще будем говорить ниже, было предвосхищено Д. Бернулли.
Ряды Фурье имеют большое значение в физике, по этой стороне мы уделим мало внимания, так как этот вопрос уже рассматривался в главе VI. Там же читатель может познакомиться с физическими задачами, естественным образом приводящими к необходимости разложения данной функции в ряды, отличные от тригонометрических, но имеющие о ними большое сходство. Мы имеем в виду так называемые ряды по ортогональным функциям.
Ряды Фурье имеют большую историю, длящуюся два столетия. Неудивительно поэтому, что к нашему времени создалась весьма обширная, чрезвычайно тонкая и глубокая теория рядов Фурье, представляющая собой самостоятельную дисциплину в математике. В этой теории наша советская математика имеет ведущие, а в ряде принципиальных вопросов — непревзойденные достижения. Особенно значительную роль в этой теории сыграла московская школа теории функций действительного переменного (Н. П. Лузин, А. Н. Колмогоров, Д. Е. Меньшов и др.).
Отметим еще, что значение тригонометрических полиномов в современной математике далеко не исчерпывается той ролью, которую они играют как средство приближения. Например, в главе X читатель имеет возможность познакомиться с фундаментальными результатами Л. М. Виноградова в области-теории чисел, полученными им на основе соответствующим образом рйзработанного аппарата тригонометрических сумм (полипомов).
§ 2. ИНТЕРИОЛЯЦИОННЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ
Частный случай построения интерполяционного многочлена.
В практических вычислениях большое распространение получили интерполяционные методы приближения функций. Чтобы ввести читателя в курс вопрЬсов этого рода, рассмотрим следующую элементарную задачу.
19 Математика, т. 2 "290
Глава XII. Приближение функций
Пусть задана на отрезке [ж0, х2] функция у = /(х), график которой изображен на рис. 1. Вид этого графика напоминает кусок некоторой параболы. Поэтому если мы желаем приблизить нашу функцию прв помощи простой функции, то в качестве такой простой приближающей функции естественно выбрать некоторый многочлен 2-й степени
P {х) = а0 4- Ci1X -f- а2з?, (1)
график которой представляет параболу.
Метод интерполирования заключается в следующем. Зададим внутри отрезка [ж0, Z2] еще одну внутреннюю точку X1- Точкам х0, Xv X1
соответствуют значения нашей функции
