Математика ее содержание, методы и значение Том 2 - Александров А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
I /(X) dx « [/ (X0) + 4/ (X1) + 2/ (X2) + 4/ (X3) +...+/ (х„)]. (6)
п
Приведем классическую оценку для нее. Если функция f(x) на отрезке [а, Ь\ имеет четвертую производную, удовлетворяющую неравенству j/IV(x)|^M, то имеет место следующая оценка:
ь
|f f(x)dx-L(f)
/ М{Ь-а)Ь т
^st 180и* ' К >
Здесь через L(f) мы обозначили правую часть формулы (6). В этом случае ошибка будет иметь порядок 1
Мы могли бы разделить отрезок [а, 6] на п равных частей и считать за приближение интеграла сумму площадей, заштрихованных на рис. 6 прямоугольников. Тогда мы получили бы приближенную формулу прямоугольников2 h
f / И dx » L=^ [/ (X0) + / (X1) +...+/ (*:„_,)]. (8)
1 Если некоторая величина ая, зависящая от п—\, 2, ..., удовлетворяет не-
с
равенству I пп \ "C-^jT > ГД° ^ — постоянная, не зависящая от п, то говорят, что она имеет порядок п~к.
2 В этом случае ж0, X1, ..., хп—\— середины равных частей интервала [я, Ь\, а не точки деления, как в формулах (6) и (9). § 3. Приближение определенных интегралов
29Я
Можно показать, что порядок ошибки при этом будет п~2, если только функция имеет ограниченную на отрезке [а, 6] вторую производную. Можно также за приближение взять сумму площадей заштрихованных на рис. 7 трапеций, и получить формулу трапеций
У, Wft/'/ і Ip Шт в я! 1 1
<7 Xg Xf ^n-2 &П-1 , ? а о
Рис. R.
h
{ (?0) + 2/(^)-I- ... + 2/(3:,.,) + /(?)] (9)
а
с порядком ошибки п~2, если функция имеет ограниченную вторую производную.
Обычно говорят, что формула Сим неона точнее формул трапеций и прямоугольников. Эти слова требуют разъяснения, иначе они неверны. Если мы знаем только, что функция имеет первую производную, то гарантированный порядок приближения интеграла по трем формулам одинаково равен и-1; в этом случае формула Симпсона существенных преимуществ перед формулами прямоугольников и трапеций не имеет. Для функций, имеющих вторую производную, можно уже гарантировать приближение по формулам трапеций и Симпсона порядка п~2. Если же функция имеет третью и четвертую производную, то порядок ошибки продолжает быть равным п~2 для формул прямоугольников и трапеций, а для формулы Симпсона он соответственно равен п~3 и n~l. Но степень п.—4 для формулы Симпсона в свою очередь оказывается Я 04 Глава XII. Приближение функций
пределом, именно: для функций, имеющих более высокую производную, чем четвертая, порядок продолжает оставаться равным п~4. Так что, если нам задана функция, имеющая производную 5-го порядка, и мы хотим использовать это обстоятельство, чтобы получить приближение порядка п~Гу, потребуется новый, отличный от формулы Симпсона метод приближения определенного интеграла. Чтобы понять, как он должен быть устроен, отметим следующее.
Формулы трапеции н прямоугольников, как легко проверить, точны для многочленов 1-й степени; это значит, что подстановка в (9) функции AjrBx, где А и В — постоянные, приводит к точному равенству. H этом же смысле формула Симпсона оказывается точной для многочленов 3-й степени А -)- Bx Cx2 -(- Dj?. Дело именно в этих свойствах. Представим себе, что мы отрезок [я, 6] разделим *.на п равных частей и к каждой части применим один и тот же приближенный метод интегрирования, точный для многочленов ,-1 -j- Bx -(- . . . -j- Fxm-1 степени т — 1. Тогда ошибка приближения для всякой функции, имеющей т-ю ограниченную производную, будет иметь порядок п~т, и если эта функция не есть многочлен степени т.— 1, то этот порядок не может быть повышен даже для функций, имеющих производные более высокого порядка.
Мы привели соображение, подчеркивающее важность задачи нахождения возможно простых приближенных методов интегрирования, точных для многочленов данной степени. Этому вопросу, которому в настоящее время посвящена большая литература, уделяли внимание математики с давних времен. Мы здесь остановимся только на нескольких классических результатах.
Зададим функцию р{х). Спрашивается, как надо расположить на отрезке [—1, 1] узлы Xv ...,хт и выбрать число К, чтобы выполнялось равенство
1 т
\f(x)p(x)dx = K ^f(Xi),
—1 1
какой бы ни был произвольный многочлен /(х) степени т.
_
Оказывается, что при р(х) = ( 1—х') 2 задача имеет положитель-ное решение, если К = — , a Xi — нули многочлена cos marc cos х, носящего имя Чебышева (см. § 5).
Для р(х) = 1 Чебышев дал решение задачи при т = 1, 2, ...,7. При т = 8 эта задача не имеет решения: узлы можно найти, но онн комплексны. При т = 9 она снова имеет решение. Однако, как показал С. П. Бернштейн, при всяком 9 задача опять не имеет решения
(узлы находятся вне отрезка [—1, -)-11). $ 4. Идея Чебышева о наилучшем равномерном приближении ;>(П
Квадратурную формулу, точную для многочленов и-ой степени, очень просто получить при помощи формулы Лагранжа (4). Ксли проинтегрировать ее левую и правую части на отрезке [а, 6],-то получим
ь „
^ Pn(x)dx = ^pk/(xk), (10)
Ir=O
!'до
I,
_ f (X-X0) ... (х-хк_1)(х-Xm) ...(X-Xtt) ,, П 4 N
- J К -*,)... (Xt - dx ^k - U' 1 > • • •' ">¦
