Математика ее содержание, методы и значение Том 2 - Александров А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
Равенство (10), таким образом, имеет место для всех многочленов степени п и, следовательно, квадратурная формула
ь
j /(X) d.г « 2 л/ Ы а 0
точна для всех многочленов степени п. Б случае, когда
___а ¦ b _ ,
Xlt-(I, Xy — ^ , X 2 — о,
эта формула, как мы знаем, обращается в формулу Симпсона.
Расположение узлов хк (/с = 0, 1, ...,я) в пределах отрезка [а, 6] мы можем изменять. Каждому расположению узлов будет соответствовать своя квадратурная формула.
Гаусс (знаменитый немецкий математик прошлого столетия) показал, что узлы хк можно расположить так, что формула будет точной для всех многочленов не ТОЛЬКО CTOIIOHII II, но и степени 2n-\-i. Многочлен
-4И+, (х) = (х — X11) (х — .г,) . .. (х ХК)
степени ra-j-1, составленный при помощи узлов хк Гаусса, обладает замечательным свойством: каков бы ни был многочлен P (х) степени мені,іпей, чем w-i-1, имеет место равенство
і,
\ Ан+,(х) P (x)dx = ().
и
Таким образом, многочлен А„+1 (х) ортогонален на отрезке [я, 6] ко всем многочленам степени пе выше, чем п. Многочлены Aw (х) носят название многочленов Лежандра (соответствующих отрезку [а, 6]).
§ 4. ИДЕЯ ЧЕБЫШЕВА О НАИЛУЧШЕМ РАВНОМЕРНОМ ПРИБЛИЖЕНИИ
Постановка вопроса. К идее наилучшего равномерного приближения II. Л. Чебышев пришел, желая решить чисто практические задачи. II. Л. Чебышев был не только одним из крупнейших математиков Я 04
Глава XII. Приближение функций
прошлого столетия, создавшим основы ряда широко развитых в настоящее время математических дисциплин, но и передовым инженером своего времени. В частности, Чебышева весьма интересовали вопросы, связанные с конструкциями механизмов, осуществляющих те или иные заданные траектории движения. Мы сейчас поясним, что выражают эти слова.
Пусть на отрезке а^х^Ь задана кривая у=/(х). Требуется построить подчиняющийся определенным техническим требованиям механизм, некоторая точка которого должна описывать насколько возможно точно эту кривую, когда механизм находится в действии. П. JL Чебышев решает поставленную задачу следующим образом. Прежде всего, выступая при решении ее как инженер, он конструирует нужный механизм так, чтобы при помощи его осуществлялась сравнительно грубо приближенно требуемая траектория движения. Таким образом, некоторая точка А механизма, пока еще не рассчитанного окончательно, при его действии будет описывать кривую
У = <Р(®), (И)
похожую на нужную кривую y = f(x) только в общих чертах. Построенный механизм состоит из отдельных частей — шестеренок, рычагов разного рода и т. д. Все они имеют определенные размеры
7.(,, X1, X2, •••> ЯІН> (1-)
вполне определяющие механизм, а следовательно, и кривую (11). Это — параметры механизма и кривой (Il).1 Таким образом, кривая (11) зависит не только от аргумента х, но и от параметров (12). Любой наперед заданной системе значений параметров будет соответствовать определенная кривая, уравнение которой удобно записать в виде
у = 9 (ж; х0, а,, ..ам). (13)
Принято говорить в таких случаях, что мы получили семейство функций (12), заданных на отрезке и зависящих от т 1 параметров (И).
При дальнейшем решении своей задачи Чебышев выступает уже как чистый математик. Он совершенно естественно предлагает считать в качестве меры уклонения функции f(x) от приближающей ее функции (ж; х0, X1,.. ., хт) на отрезке at^x^b величину
Il / —? Il = max I/(ж) — о (ж; X01X1, ...,хт)|, (14)
равную максимуму абсолютной величины разности/(ж)—ъ (ж; х0, X1,..., х,„)
1 Желающих ознакомиться с подробностями расчета подобных механизмов мы. отсылаем к сборнику «Научное наследие П. Л. Чебышева», т. II. Изд-во АН СССР. 1945. $ 4. Идея Чебышева о наилучшем равномерном приближении
303
на отрезке а^ж^б (рис. 8). Эта величина есть, очевидно, некоторая функция
\\f —? \\ =F (O0, OL1, ..., *„,) (15)
от параметров х0, X1, ..., ат. Ставится теперь вопрос о разыскании таких значений параметров, при которых функция (15) принимает наименьшей значение. Эти значения определяют функцию о, про которую принято говорить, что она наилучшим образом равномерно приближает заданную функцию y = f(x) среди всевозможных функций рассматриваемого семейства (И). Величина F(а0, ар ..., ая) для этих значений носит название наилучшего равномерного приближения функции f(x) на отрезке [а, 6] при помощи функций ф семейства (13). Ее принято обозначать символом Em(f). Термин «равномерный» часто, в особенности в иностранной литературе, заменяют термином «чебы-шевский». Оба они подчеркивают определенный характер близости функций. Возможны и другие способы, например можно говорить о функции из некоторого семейства наилучшим образом в смысле среднего квадратического приближающей f(x). Но об этом будет речь в § 8.
П. JI. Чебышев впервые вскрыл те закономерности, которые имеют место в рассматриваемом здесь вопросе, и в ряде случаев обнаружил, что функция <р, наилучшим образом равномерно приближающая фуикцию / на отрезке [а,Ь\, обладает тем замечательным свойством, что для нее максимум (15) абсолютной величины разности
