Математика ее содержание, методы и значение Том 2 - Александров А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
У*
Уг
х,
Риг. 1.
Ув = /(«о)» l). %=/(**)¦
Построим такой многочлен (1), чтобы он в точках х0, Xv х2 совпал с рассматриваемой функцией (его график намечен на рис. 1 пунктиром). Другими словами, требуется подобрать коэффициенты а0, а,, а, в многочлене (1), чтобы выполнялись равенства
Р(хо) = Уп> P(Z1) = V1, P(Z2) = V2.
(2)
Заметим, что наша фуикция /(ж) могла с самого начала и не выражаться формулой, например могла представлять некоторую эмпирическую зависимость, описываемую графиком, изображенным на рис. 1. Решив задачу о ее интерполировании, мы получим приближающую функцию в виде аналитического выражения — многочлена Р(х). Если точность приближения нас удовлетворяет, то полученный многочлен будет иметь перед приближаемой функцией то преимущество, что его можно вычислять для промежуточных значений X.
Поставленную задачу можно решить так: составить три уравнения
И) = fllO +<4*0+«Л» Vl — ao + а1Х1 + a2xv Уі = ao + aa + a^v
найти из них а0, av а2 н подставить величины этих коэффициентов в равенство (1). Но мы решим ее несколько иначе. Построим сначала многочлен Q0(x) 2-й степени такой, чтобы он удовлетворял трем условиям: ^0(х0) = 1, Q0(x1) = O, Q0(z2) = O. Из последних двух условий следует, что этот многочлен должен иметь вид А (х — хг)(х — х2), а из § 2. Интерполяционные многочлены
291
первого условия следует А = _ х _ х у • Таким образом, искомый многочлен имеет вид
(х— х{)(х — X2)
Qoi*)--
(X0-X1)(X0-X2)
Аналогично многочлены
/1 / \ (х — хо)(х—^?) /П I \ (х — Х0)(х — Xi)
Ql (х) — г -^T-—aX , (Mx) = T- W-
X1 ' — ®2/ (S-O-Xn)(X2-I1)
удовлетворяют условиям
єі(*о)=єі(*ї) = <>. ?1(?)= 1. <?л®о) = єї(*,) = о. <?2 (x2) = i.
Далее, очевидно, многочлен y0Q0(x) обращается в у0 при X = X0 и в нуль при x = xj и х = х2, и соответствуюшпми свойствами обладают многочлены у, Q1(X) и у2 Q2(x).
Отсюда легко следует, что искомый интерполяционный многочлен 2-й степени, удовлетворяющий требованиям (2), выражается формулой
P («) = Уо Q0 (х) + Уі Qi (х) + % Qt (х) =
__ (х — X1) (х — х2) , (х — X0) (х — X2) , (X-X0) (g —Si) -g
^0 (X0-X1)(X0-X2) ' (Xi-U0)(X1-X2) ТЛ (X2-X0)(X2-X1)' * '
Заметим, что полученный многочлен является единственным многочленом 2-й степени, решающим поставленную интерполяционную задачу. Действительно, если допустить, что некоторый другой многочлен P1(X) 2-й степени тоже решает нашу задачу, то разность P1(X)—P (х), представляющая собой тоже. некоторый многочлен 2-й степени, обращалась бы в нуль в трех точках: х = х0, X1, х2. Но мы знаем из алгебры, что если многочлен 2-й степени обращается в нуль для трех значений х, то он тождественно равен нулю. Таким образом, многочлены P (х) и P1 (х) тождественно совпадают.
Ясно, что полученный многочлен, вообще говоря, совпадает с данной функцией только в точках х0, X1, х2, а для других значений х отличается от нее.
Если точку x1 взять посредине отрезка (х0, х2], полагая X2 — x1 = = x1-—-x0 = /?, то формула (3) несколько упростится
P (х) = І [Уо (х — -ri) (х — хг) — 2Vi (ж — хо) (х — x-z) + 1/2 (х — хо) (х — aI)]-
B качестве примера проинтерполируем синусоиду у = Sinx (рис. 2) при помощи многочлена 2-й степени, совпадающего с ней в точках
JT = O, Y' Очевидно, искомый многочлен имеет вид
4
P (х) = ^2 X (~ — х) 5? sin X.
19* "292 Глава XII. Приближение функций
Сравним sin.г и P (х) в двух промежуточных точках: P (^) = 0,75, a sin ~ = ~ ^ 0,71,
п (* \ ю . - 9
pUj=T8' а 8,11 б =TH-
Гакам образом,, мы приблизили sin ж на отрезке (0, -] примерно с точностью1 до 0,05. С другой стороны, разложение sin х в окрестности точки ~ в ряд Тейлора дает
cos (-J- х)
= 1 (, ("2 -*)4
Slll X = COS 1 о .л<,_а 2, ,---4!
Ксли остановиться на втором члене разложения, то п точке X = Q получим приближение sill 0^1—-8- «0,234, т. е. с ошибкой более чем 0,2.
Мы видим, что методом интерполирования нам удалось приблизить sinx на всем отрезке [0, -] при помощи многочлена 2-й степени более удовлетворительно, чем это удается сделать при помощи многочлена
Y ' . ТГ
той же степени, разлагая функцию sin а- в окрестности точки х=-^ по
формуле Тейлора. Впрочем, не надо забывать, что формула Тейлора
- .. "я
зато дает очень точное нриолижение в малои окрестности x = j , гораздо более точное, чем то, которое для такой окрестности имеет место при приближении по методу интерполяции.
Общее решение задачи. Ясно, что более сложную функцию y=.f(x), изображенную на рис. 3, едва ли кто-нибудь решился бы интерполировать при помощи многочлена 2-й степени. Во всяком случае тот, кто па это все-таки решился бы, получил бы заведомо очень плохое
1 Впрочем, для полного обоснования этого утверждения следует показать, что Ax тг т:
разность ^2" Crr — х) — sin х но ТОЛЬКО ДЛЯ I = J ii , но и для всех X из
отрезка [0, тг] не превышает величины порядка 0,05; мы этого делать не будем. ij 2. Интерполяционные многочлены
293
приближение, так как никакая парабола 2-й степени не может следовать всем изгибам кривой y^=f(x). В этом случае естественно попытаться проинтерполировать эту функцию при помощи многочлена более высокой степени (не ниже 4-й).
