Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Александров А.Д. -> "Математика ее содержание, методы и значение Том 2" -> 112

Математика ее содержание, методы и значение Том 2 - Александров А.Д.

Александров А.Д. Математика ее содержание, методы и значение Том 2 — Москва, 1956. — 397 c.
Скачать (прямая ссылка): matemateesoderjaniemetodiiznachenie1956.djvu
Предыдущая << 1 .. 106 107 108 109 110 111 < 112 > 113 114 115 116 117 118 .. 157 >> Следующая


В главе II (том 1) читатель уже познакомился с одним весьма важным методом приближения — формулой Тейлора. При ее помощи функция, если она удовлетворяет определенным условиям, приближается другой функцией вида P (х) = a0-f- агх-\-.. . -f- а„х", называемой алгебраическим многочленом. Здесь ак— постоянные числа, не зависящие от х.

Алгебраический многочлен есть весьма просто устроенная функция; для ее вычисления по данным коэффициентам ак и данному значению х требуется применение только трех арифметических действий (сложения, вычитания и умножения). Простота вычисления на'практике чрезвычайно важна. Это обстоятельство послужило одной из причин того, что алгебраические многочлены служат наиболее распространенным средством приближения функций (о другой важной причине мы скажем позднее). Достаточно сказать, что нам, в особенности в последнее время, приходится в массовых масштабах делать технические вычисления на счетных машинах. Современные совершенные счетные машияы работают весьма быстро и неутомимо. Однако машина в состоянии делать лишь сравнительно простые операции. Ее можно заставить производить арифметические действия с весьма большими числами, но нельзя, например, заставить осуществить до конца бесконечный процесс перехода переменной величины к пределу. Машина, например, не может вычислить точно Iga;. Но у нас есть возможность приблизить Igr многочленом P (х) с необходимой степенью точности, а затем при помощи машины вычислить многочлен.

Кроме формулы Тейлора, существуют и другие, имеющие очень большое значение в практике методы приближения функций алгебраическими многочленами. К ним относятся прежде всего различные интерполяционные методы, широко употребляющиеся, в частности, при приближенных вычислениях интегралов, а также в вопросах приближенного интегрирования дифференциальных уравнений. Большое распространение получил метод приближения в смысле среднего квад-ратического, широко применяемый не только к алгебраическим многочленам. Важное значение в определенных областях практики имеет метод наилучшего равномерного или чебышевского приближения, пред- § 1. Введение

287

ложенный великим русским математиком П. JI. Чебышевым, да этот метод и возник, как мы увидим дальше, из решения задач, связаннйх с конструированием механизмов.

В нашу задачу входит дать представление об этих методах и но возможности чуказать те условия, нри которых один из этих методов СЛЄД)'ЄТ предпочесть другому. Ни один из них не является абсолютно лучшим. Каждый метод может оказаться лучше других при определенных условиях. Если, например, речь идет о решении физической задачи, то тот или иной метод приближения входящих в нее функций часто диктуется самим существом задачи или, как говорят^ физическими соображениями.

Мы увидим также, что при известных обстоятельствах один метод приближения может оказаться применимым, а другой неприменимым.

Каждый из перечисленных методов возник в свое время, имеет свою собственную теорию и историю. Еще Ньютон знал формулу интерполирования и дал весьма удобное для практических вычислений ее выражение через так называемые разностные отношения. Метод приближения в смысле среднего квадратического имеет по крайней мере 150-летнюю давность. Однако долгое время эти методы не составляли сколько-нибудь связной теории. Они представляли собой лишь отдельные практические приемы приближения функций, причем, границы применимости этих методов были неясны.

Настоящая теория приближения функций возникла после работ II. JI. Чебышева, который ввел в науку важное понятие наилучшего приближения, в частности равномерного наилучшего приближения, систематически применял его в приложениях и разработал его теоретические основы. Наилучшее приближение есть основное понятие, с которым оперирует современная теория приближений. После П. JI. Чебышева его идеи получили дальнейшее развитие в трудах его учеников Е. И. Золотарева, А. Н. Коркина и братьев А. А. и В. А. Марковых .

В чебышевский период развития теории приближения функций, помимо введения фундаментальных понятий, были даны основные методы получения наилучших приближений произвольных индивидуальных функций,—методы, которыми мы широко пользуемся в настоящее время; кроме того, были заложены основы изучения свойств приближающих классов, прежде всего алгебраических и тригонометрических полиномов, с точки зрения тех нужд, которые возникают в связи с необходимостью приближения функций.

На дальнейшее развитие теории приближения функций оказало влияние важное в математике открытие, сделанное в конце прошлого столетия немецким математиком Вейерштрассом. Им со всей строгостью была показана принципиальная возможность приближения произвольной непрерывной функции с любой заданной степенью точности "288

Глава XII. Приближение функций

алгебраическим многочленом. Это обстоятельство и есть вторая причині того, что алгебраические многочлены являются универсальным средство« приближения функций. Одной простоты устройства алгебраически многочленов еще недостаточно для того, чтобы именно их употребляя в качестве такого средства; нужна еще принципиальная возможной! приблизить непрерывную функцию многочленом с как угодно малоі наперед заданной ошибкой. Эта возможность и была доказана Вейер-штрассом.
Предыдущая << 1 .. 106 107 108 109 110 111 < 112 > 113 114 115 116 117 118 .. 157 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed