Математика ее содержание, методы и значение Том 2 - Александров А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
Обычное в механике и многих других областях физики обращение к дифференциальным уравнениям второго порядка с принципиальной стороны не вносит ничего нового, так как, обозначая скорости хк новыми знаками
Vk —
мы получаем для вторых производных величин хк выражение
d*xk
AT = ?'
и уравнения второго порядка для п величин X1, хг, • - - , хп сводятся к уравнениям первого порядка для 2п величин X1, • • • , х„, V1, г\, • - -,Vr В виде примера рассмотрим задачу падения тяжелого тела в земной атмосфере. Предполагая, что в рассмотрение входят лишь небольшие высоты над земной поверхностью, будем считать сопротивление «реды зависящим только от скорости, а не от высоты. Состояние изучаемой системы характеризуется двумя параметрами: расстоянием тела ют земной поверхности 2 и его скоростью v. Изменение этих двух величий во времени определяется двумя дифференциальными уравнениями
Z = — V, (31) § 5. Детерминированные и случайные процессы
277
где g— ускорение силы тяжести, f (v) — некоторый «закон сопротивления» для рассматриваемого тела.
Если скорости невелики и тело достаточно массивно, например в случае падения камня средних размеров с высоты в несколько метров, то сопротивлением воздуха можно пренебречь, и уравнения (31) превращаются в уравнения
Z = — V,
V= g. (32)
Если предположить, что в начальный момент времени Z0 величины z и V имеют значения Z0 и ^u, го легко решить уравнения (32) и получить формулу
Z = Z 0-V(t-t0)-g[^f,
описывающую весь процесс падения. Например, в предположении г0 = 0, ^0 = O получаем формулу
Z-Z
2 — zO 2 '
открытую Галилеем.
В общем случае интегрирование уравнений (31) несколько сложнее, но принципиальный результат (при весьма общих ограничениях, наложенных на функцию f (v)) остается тем же: по значениям Z0 и V0 в начальный момент времени t0 однозначно вычисляются значения z и V для всех дальнейших моментов времени t вплоть до падения тела на поверхность земли. Можно мысленно снять и это последнее ограничение, предполагая, что падение продолжается и при отрицательных значениях z. Для схематизированной таким образом задачи можно установить следующее: если функция f(v) при возрастании v монотонно возрастает и стремится к бесконечности при г-»оо, то при неограниченном продолжении падения, т. е. при неограниченном возрастании переменного t, скорость V стремится к постоянному предельному значению с, которое является корнем уравнения
§ = f(c).
G наглядной стороны этот результат математического анализа поставленной задачи понятен: скорость падения возрастает до тех нор, пока ускорение силы тяжести не уравновесится сопротивлением воздуха. При прыжке с открытым парашютом стационарная скорость v около пяти метров в секунду устанавливается1 довольно скоро. При затяжном прыжке с нераскрытым парашютом сопротивление воздуха меньше, и в соответствии с этим стационарная скорость оказывается
1 Имеется в виду, что V становится практически достаточно близким к с. '278
Глава XI. Теория вероятностей
больше и устанавливается лишь после того, как парашютист пролетит очень большое расстояние.
При падении легких тел, подобных брошенному в воздух перу или пушинке, начальный период заметным образом ускоренного движения очень мал и иногда совсем незаметен. Стационарная скорость падения устанавливается очень быстро, и с известным приближением можно принять, что все время V = с. В этом случае остается одно дифференциальное уравнение
Z = — с,
которое интегрируется очень просто:
Z = Z0-c(t —10).
Так будет падать пушинка в совершенно спокойном воздухе.
В совершенно общем виде подчеркнутая нами выше детерминистическая концепция трактуется в современной теории динамических систем, которой посвящен ряд важных работ советских математиков — Н. Н. Боголюбова, В. В. Степанова и многих других. Эта общая теория охватывает как частные случаи и такие математические схемы реальных явлений, в которых состояние системы определяется уже не конечным числом параметров, а заданием одной или нескольких функций, как это типично, например, для механики непрерывных сред. В таких случаях элементарные закономерности изменения состояния за «бесконечо малый» промежуток времени задаются уже не обыкновенными дифференциальными уравнениями, а уравнениями в частных производных или иными средствами. Но общим во всех детерминированных математических схемах реальных процессов является то, что, во-первых, состояние изучаемой системы считается исчерпывающим образом определенным посредством задания некоторого математического объекта <а (системы п действительных чисел, одной или нескольких функций и т. п.); во-вторых, последующие значения для моментов времени t0 однозначно определяются по значению ю0, соответствующему начальному моменту времени Itt
<o=F(t0, (о0, t).
Как мы уже видели, в случае процессов, описываемых дифференциальными уравнениями, нахождение функции F требует интегрирования этих дифференциальных уравнений с начальными условиями и = «0 при t = t0.
Представители механистического материализма считали, что описанная схема является точным и прямым выражением детерминированности реальных явлений — физического принципа причинности. По идее Лапласа, состояние мира в данный момент времени определяется бесконечным числом параметров, подчиненных бесконечному числу диффё- § 5. Детерминированные и случайные процессы
