Математика ее содержание, методы и значение Том 2 - Александров А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
2 \!-кП (t - /0)
(« + 'о? 4<о)
«(*-*„) с» (< —
ао
4Z)
+
D V5
- е
е ''dz.
2 ч/Л (<-<ь)
На рис. 4 изображено, как могут меняться кривые p(t0, z0; t, z) в последовательные моменты времени t.
Рис. 4.
Рис. 5.
Мы видим, что в среднем высота частицы убывает, а положение ее становится все более неопределенным (все более «случайным»). Самое интересное заключается в том, что при любых J0 и Z0 и при Z-*- оо
р z0; t, Z-)-
Z)
е Д
(36)
т. е. существует предельное распределение для высот частицы, и математическое ожидание высоты расположения частицы с возрастанием t стремится к положительному пределу
со C^
ze~Wdz=1j. (37)
о
Таким образом, несмотря на то, что наша частица, находясь над поверхностью земли, все время имеет тенденцию падать под действием силы тяжести, она при неограниченном продолжении этого процесса '284
Глава XI. Теория вероятностей
(блуждания в атмосфере) будет в среднем находиться на определенной положительной высоте. Если бы мы взяли начальное Z0 меньшим, чем z*, то оказалось бы, что по истечении достаточно большого промежутка времени среднее положение частицы будет выше начального, как это изображено на рис. 5, где Z0 = O.
Для отдельной частицы средние значения z*, о которых идет речь, являются лишь математическими ожиданиями, но в силу закона больших чисел для большого числа частиц они будут осуществляться реально: плотность расположения такого рода частиц по высоте будет следовать указанным закономерностям и, в частности, по истечении достаточно большого промежутка времени стабилизируется в соответствии с формулой (36).
Все сказанное непосредственно применимо лишь к примешанным к воздуху в малой концентрации газам, дымам и т. п., так как величины с и D предполагались определенными заранее заданным состоянием атмосферы. Однако с некоторыми усложнениями теория применима к взаимной диффузии газов, составляющих атмосферу, и к возникающим на основе этой диффузии распределениям их плотностей по высоте.
С увеличением размеров частиц отношение -g- возрастает, и благодаря этому процесс их перемещения вместо диффузионного характера приобретает характер закономерного падения по законам, рассмотренным в § 5. Теория позволяет проследить все переходы между чисто диффузным движением и таким закономерным падением.
Задача движения взвешенных в атмосфере частиц под действием турбулентного перемешивания более сложна, но в принципе тоже-может быть подчинена аналогичным вероятностным методам.
JI И T E P A T У P А
Популярная литература
Гнеденко Б. В. и Хинчин А. Я. Элементарное введение в теорию вероятностей. Изд. 3-е, Гостехиздат, 1952.
Современные университетские курсы Бернштейн С. Н. Теория вероятностей. Изд. 4-е, Гостехиздат, 1946. Гнеденко Б. В. Курс теории вероятностей. Изд. 2-е, Гостехиздат, 1954.
Специальные монографии Чандрасекар С. Перенос лучистой энергии. M., 1953.
Эйнштейн А. и Смолуховский М. Броуновское движение. Сборник статей, 1936. Глава XII ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИИ
§ 1. ВВЕДЕНИЕ
В практической жизни нам постоянно приходится приближать одни числа другими. Достаточно сказать, что измерения тех или иных конкретных величин — длин, площадей, температуры и'т. д. — приводят нас к числам, только приближенно выражающим эти величины. На практике мы пользуемся только рациональными числами, т. е.
числами вида у, где р и q (q^ 0) — целые числа. Но, кроме рациональных чисел, имеются еще иррациональные, и если мы не получаем их при измерениях, то наши теоретические рассуждения сплошь я рядом приводят к ним. Мы знаем, например, что длина окружности 1
радиуса г=равна иррациональному числу х, а длина гипотенузы
прямоугольного треугольника с единичными катетами равна \j2. В вычислениях при действиях с иррациональными числами прежде всего приближают их с нужной точностью соответствующими рацио нальными числами, обыкновенно конечными десятичными дробями.
То же обстоятельство имеет место и в случае функций. Количественные закономерности природы отражаются в математике при помощи функций не точно, а приближенно, с той или иной степенью точности. Более того, в громадном числе случаев появляется необходимость имеющиеся уже в нашем распоряжении функции, заданные по всем математическим правилам, приближать другими функциями с определенной точностью в целях их фактического вычисления.
Однако дело не только в вычислениях. Задача о приближенном представлении функции при помощи других функций имеет большое теоретическое значение. В нескольких словах это можно объяснить так. В процессе развития математического анализа удалось обнаружить и изучить весьма важные классы приближающих функций, т. е. функций, являющихся в известных условиях естественным средством приближения других более или менее произвольных функций. Этими классами оказались прежде всего алгебраические и тригонометрические полиномы, а также их различные обобщения. Оказывается, что "286
Глава XII. Приближение функций
по свойствам заданной функции, которую мы приближаем, при определенных условиях можно судить о характере уклонения от нее приближающих ее функций. Наоборот, зная характер уклонения, например, зная величины уклонений заданной функции от определенного ряда приближающих ее функций, можно узнать свойства этой функции. На этом пути была построена теория функций, базирующаяся на приближенном их представлении при помощи тех или иных классов приближающих функций. Подобная теория имеется и в теории чисел. В ней свойства иррациональных чисел изучаются на основе приближения их с помощью рациональных.
