Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Александров А.Д. -> "Математика ее содержание, методы и значение Том 2" -> 115

Математика ее содержание, методы и значение Том 2 - Александров А.Д.

Александров А.Д. Математика ее содержание, методы и значение Том 2 — Москва, 1956. — 397 c.
Скачать (прямая ссылка): matemateesoderjaniemetodiiznachenie1956.djvu
Предыдущая << 1 .. 109 110 111 112 113 114 < 115 > 116 117 118 119 120 121 .. 157 >> Следующая


Общая задача интерполирования заключается в том, что требуется построить многочлен p (х) = а0 -j- ci1x 4- агх- -(- . . . -j- аихп степени и, который совпадал бы с заданной функцией в лг 1 точках xu, x1, х2, . . ., х„, т. е. для которого выполнялось бы п —|— 1 равенств: P(x0) = f(x0), p(x1) = z(x1), . . ., P (хп) =/(х„). Точки, в которых требуется совпадение функции с приближающим ее многочленом, называются узлами, интерполяции.

Paccj ждая аналогично тому, как это мы делали в отношении многочлена 2-й степени, нетрудно показать, что искомый многочлен можно записать в виде

л,(X)=у w~ '' ~ ~ aK• • • / (?), (4)

причем этот многочлен (степени и) единственный. Написанная формула носит название формулы Лагранжа. Эту формулу можно записать и различных других формах; например, к практике большое распространение получила формула разностных отношений Ньютона.

Отклонение интерполяционного многочлена от порождающей функции. Метод интерполирования является весьма универсальным средством приближения функций. Принципиально функция не обязана обладать особыми свойствами для возможности ее интерполирования, например не обязана иметь производные на всем протяжении отрезка приближения. В этом смысле метод интерполирования имеет преимущество перед формулой Тейлора. Интересно, что бывают случаи, когда функция будет даже аналитической на отрезке, а к ней фopмJ'лa Тейлора как средство приближения все же не применима. Представим

себе, например, что потребовалось достаточно хорошо приблизить на

j

отрезке [-—2, 2] функцию ^ ^ ^2 алгебраическим многочленом. На первый взгляд естественно попытаться для этой цели разложить ее в ряд Тейлора в окрестности точки х = 0

і-тЦі = 1 — + X+ — X6 -f . . .

Однако нетрудно видеть, что получающийся ряд сходится лишь на интервале — 1 <х< 1. Вне отрезка [—1, 1] он расходится и прибли-

л

жаті. Jqj^r2 на всем отрезке |— 2, 2] не может. В то же время интерполяционный метод здесь вполне применим. "294

Глава XII. Приближение функций

Конечно, всякий раз возникает задача об удачном выборе числа і расположения узлов так, чтобы ошибка приближения удовлетворяла желаемым требованиям. На вопрос о возможной ошибке приближения в случае, если функция имеет производную достаточно высокого порядка, отвечает следующий классический результат, который мы приведем без доказательства.

Если функция /(х) имеет на отрезке [х0, х„] непрерывную производную порядка п-1-1, то для любого промежуточного значения х из этого отрезка отклонение ее от интерполяционного многочлена JIar-ранжа P (х) с узлами интерполяции X0 ж, . . . хп выражается формулой

f (x)-P (х) = {х~ *дН*-*1> •••(«-«.) /(„+1) (с);

где с — некоторая промежуточная точка, находящаяся между х0 и х,. Эта формула напоминает соответствующую формулу остаточного члена тейлоровского разложения и в сущности представляет ее обобщение. Таким образом, если известно, что производная /с«+1) (х) порядка п-\-1 на отрезке [хй, хп] всюду не превышает по абсолютной величине число М, то ошибка приближения для какого-либо значения х из этого отрезка определяется следующей оценкой

I / (х) - Pn (x) I < м.

Современная теория приближений владеет многими другими способами нахождения оценок при интерполировании. Этот вопрос сейчас достаточно хорошо изучен. При этом обнаружены интересные, совершенно неожиданные факты.

Рассмотрим, например, гладкую функцию y = f(x), заданную на отрезке [—1, 1], т. е. такую, что ее график представляет собой непрерывную кривую с непрерывно изменяющейся касательной. То обстоятельство, что мы взяли отрезок с определенными концами —1 и 1, не играет особенной роли; факты, о которых мы будем говорить, имеют место и на произвольном отрезке [а, 6] с несущественными изменениями.

Предположим теперь, что на отрезке [—1, 1] мы задали систему /г-)-1 точек

—1<х(|<ж]< ...<ж„<1 (5)

и затем построили многочлен P (х) = ац агх -Jr ...-{- а„х" степени л, который совпадает с /(х) в этих точках. Будем пока предполагать, что соседние точки системы (5) находятся на равном расстоянии друг от друга. Если п неограниченно увеличивать, то соответствующий интерполирующий нашу функцию многочлен Pn (х) будет во все боль-гаем и большем числе точек совпадать с /(х), и можно было бы думать, что ij 2. Интерполяционные многочлены

295

в промежуточных точках ж, не принадлежащих системе (5), разность /(ж)— рп{х) будет стремиться к нулю при и-* оо. Такое мнение существовало еще в конце прошлого столетия, однако впоследствии обнаружилось, что это далеко не так. Оказывается, что для многих гладких (даже аналитических) функций /(ж) в случае равноотстоящих узлов хк интерполяционные многочлены Pn (х) совсем не стремятся к / (ж), когда п со. График интерполяционного полинома хотя и совпадает в заданных узлах с /(х), но ценой того, что он сильно отклоняется от графика /(ж) при больших п для промежуточных между узлами значений х и притом тем более отклоняется, чем больше п. Как показали дальнейшие исследования, подобных явлений можно избежать по крайней мере для гладких функций, если узлы интерполяции расположить на отрезке так, что в середине его они будут распределены более редко, а ближе к концам—более густо. Именно, оказывается, что в известном смысле наилучшим распределением узлов интерполяции является такое распределение, когда узлы хк совпадают с нулями1 многочлена Чебышева cos \(п -}- 1) arccos.x], которые определяются формулами
Предыдущая << 1 .. 109 110 111 112 113 114 < 115 > 116 117 118 119 120 121 .. 157 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed