Математика ее содержание, методы и значение Том 2 - Александров А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
В качестве примера рассмотрим перенос песка водным потоком в реке или в том или ином искусственном гидротехническом сооружении. Обычно этот перенос происходит таким образом, что большинство песчинок спокойно лежит на дне и лишь изредка особенно сильные § 6. Случайные процессы марковского типа
281
завихрения вблизи дна выхватывают отдельные песчинки и переносят их сразу на довольно значительные расстояния вплоть до внезапной остановки в каком-либо новом месте. Чисто теоретически движение каждой такой песчинки могло бы быть рассчитано индивидуально по законам гидромеханики. Но для этого нам было бы необходимо знать начальное состояние дна и потока во.всех деталях и рассчитывать его шаг за шагом, отмечая те моменты времени, когда давление на какую-либо покоящуюся песчинку окажется достаточным, чтобы привести ее в движение, и прослеживая перемещение сдвинутых с места песчинок вплоть до их остановки. Абсурдность постановки такой задачи для реального научного исследования очевидна. И несмотря на это, средние или, как принято говорить, статистические закономерности передвижения донных наносов водными потоками вполне поддаются изучению.
Примеры, в которых действие большого числа случайных факторов приводит к вполне отчетливым статистическим закономерностям, было бы легко умножить. Один из самых увлекательных по широте перспектив и в то же время самых известных такого рода примеров доставляет кинетическая теория газов, которая показывает, как из совместного действия множества случайных столкновений молекул возникают точные закономерности, которым подчинены давление газа, как целого, на стенки, диффузное распространение одного газа в другом И т. д.
§ 6. СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ МАРКОВСКОГО ТИПА
А. А. Маркову принадлежит заслуга построения вероятностной схемыг непосредственно обобщающей детерминистическую схему, записанную в § 5 при помощи уравнения
<o=F(t0, <о0, t).
Правда, Марков рассмотрел только случай, когда фазовое пространство изучаемой системы состоит лишь из конечного числа состояний Q = (O)1, <о2, . . ., <оя}, и изучал изменение состояния системы лишь при разделении времени t на дискретные шаги. Но в этой крайне схематизированной модели он сумел уловить ряд фундаментальных закономерностей.
Вместо функции F, однозначно определяющей состояние <о в момент времени t^>t0 по состоянию (O0 в момент времени ?п, Марков вводит вероятности
(tQ, (О,-; t, (Hj)
получения СОСТОЯНИЯ toy в момент времени t при условии, что в момент времени t0 имело место состояние <о,-. Эти вероятности Марков связывает для любых трех моментов времени '282
Глава XI. Теория вероятностей
соотношением, которое можно назвать основным уравнением марковских процессов
м
Когда фазовое пространство является непрерывным многообразием, наиболее типичен случай существования плотностей вероятности p(t0, <о0; t, <о) перехода из состояния <о0 в состояние м за промежуток времени (t0, t). В этом случае вероятность перехода за промежуток времени между моментами t0 и t из состояния <о0 в какое-либо из состояний «о, принадлежащих области G фазового пространства Q, записывается в виде
Р(*0, <о0; t, G)= f
P (tO' (,)о' (34)
G
где du — элемент объема в фазовом пространстве1. Для плотностей вероятности p(t0, <о0; t, <о) основное уравнение (33) приобретает вид
P (tO^ "о! tIy ы2)= [p^o'6V tI' Ы)Р(11' tI' м2)йы. (35)
я
Уравнение (35) решить довольно трудно, но при известных ограничениях из него можно вывести дифференциальные уравнения в частных производных, которые легче поддаются изучению. Некоторые из этих уравнений были получены из нестрогих физических соображений физиками Фоккером и Планком. В полном виде теория так называемых стохастических дифференциальных уравнений была построена советскими авторами (С. Н. Бернштейн, А. Н. Колмогоров, И. Г. Петровский, А. Я. Хинчин и др.).
Выписывать здесь эти уравнения мы не будем.
Метод стохастических дифференциальных уравнений позволяет, например, легко решить задачу о движении в спокойной атмосфере очень малого тела, для которого средняя скорость его падения с значительно меньше скорости его «броуновского движения», вызываемого тем, что из-за малости его размеров толчки молекул воздуха на противоположные его стороны не вполне уравновешиваются.
Пусть с — средняя скорость падения, D — так называемый коэффициент диффузии. Если предположить, что на земной поверхности (z = 0) частица не задерживается, а «отражается», т. е. под действием броуновских сил вновь отправляется в путешествие по атмосфере, и допустить, что в момент времени t0 частица находится на высоте Z0,
1 Собственно говоря, равенство (34) служит определением плотности вероят-
ности. Величина р da> равна (с точностью до бесконечно малых высшего порядка)
вероятности перейти за время от I0 до t из состояния м0 в элемент объема doi § в. Случайные процессы марковского типа
283
то плотность вероятности p{t0, z0; t, z) ее нахождения в момент времени t на высоте z выразится формулой
p(t0, z0; t, z) =
