Математика ее содержание, методы и значение Том 2 - Александров А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
Таким образом, задача о наилучшем равномерном приближении непрерывной функции f(x) сводится к умению подобрать на отрезке [—1, 1] систему х0, X1, . . ., хп узлов интерполяции, так чтобы соответствующий интерполяционный многочлен п-й степени имел уклонение I)/ — Il = max |/(ж) — <?(ж)|, наименьшее среди возможных. К сожале-
X
нию, практическое нахождение нужных узлов очень часто связано с большими трудностями. Обычно эту задачу приходится решать приближенно, и здесь выступает особая роль многочлена Чебышева. Оказывается, что если в качестве узлов интерполяции взять именно нули многочлена cos (га 1) arccos х (т. е. точки, где он сам равен нулю), то соответствующий интерполяционный многочлен, по крайней мере при больших п, будет давать равномерное уклонение от функции (достаточно гладкой), мало отличающееся от соответствующего уклонения наилучшего равномерно приближающего функцию многочлена. Это несколько неопределенное выражение «мало отличающийся» в ряде важных характерных случаев может быть подкреплено весьма точными количественными оценками, на которых мы здесь не будем останавливаться.
Вернемся к многочлену Чебышева. Возьмем его в виде Тп(х) = = M cos п arccos х (—1 ^ х ^ 1), где M — некоторое положительное число. Очевидно, он всюду на отрезке [—1, 1] по абсолютной величине не
..TT т, / пМ sin п arccos® превышает числа М. Производная от него равна In(X)=--——-—-,
и, следовательно, она на отрезке [—1, 1] удовлетворяет неравенству | TJ (ж) | ^-^=JL=-. Оказывается, что полученное неравенство верно для
всех многочленов Рп(х) степени п, не превышающих числа M по абсолютной величине на отрезке [—1, 1], т. е. для производной всякого такого многочлена на -отрезке [—1, 1] выполняется неравенство
і п> / \ і пМ
Неравенство это надо считать принадлежащим А. А. Маркову, так как оно прямо следует из его результатов, идущих даже ф' 6. Теорема Вейерштрасса
307
несколько дальше. Сам А. А. Марков получил их в связи с одним вопросом, заданным ему Д. И. Менделеевым.
Б дальнейшем, в 1912 г., С. Н. Бернштейн получил носящий его имя аналог этого неравенства для тригонометрических полиномов и при помощи этих неравенств впервые обнаружил возможность установления дифференциальных свойств функции, если известен порядок убывания ее наилучших приближений. Результаты этого рода, касающиеся дифференцируемых функций, приведены в §§ 6 и 7.
§ 6. ТЕОРЕМА ВЕЙЕРШТРАССА. НАИЛУЧШЕЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИИ И ЕЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ПРИРОДА
Теорема Вейерштрасса. Если применить общее определение наилучшего приближения функции, данное в § 4, к случаю, когда она приближается алгебраическим многочленом степени п, то мы придем к следующему определению. Наилучшим равномерным приближением функции f(x) на отрезке [а, 6] при помощи многочленов степени п называется (неотрицательное) число En (/), равное минимуму выражения
шах j f{x) -Pn (X) I = H /-/>„ II,
1 ''!Г 'Ь
распространенному на всевозможные многочлены Рп(х) стенени п.
Независимо от того, умеем мы или нет находить точное выражение многочлена, наилучшим образом приближающего данную функцию/(ж), представляет большой практический и теоретический интерес возможно более точное знание величины En(J). В самом деле, если нам требуется приблизить функцию / многочленом с точностью до заданной величины S, иначе говоря, так, чтобы было
IJ(X)-Pn (X) |<& (17)
для всех X из заданного отрезка, то нет никакого смысла подбирать его среди многочленов такой степени п, для которой En (J) > S, так как при этом п вообще не существует какого бы то ни было многочлена Р„, для которого имеет место (17). С другой стороны, если нам известно, что En (/) <С S, то имеет смысл при таком п пытаться отыскать многочлен Рп(х), который приближал бы /(х) с точностью до Й, так как такого рода многочлены заведомо существуют.
Свойства наилучших приближений функций различных классов подверглись весьма тщательному и глубокому изучению. Прежде всего отметим следующий важный факт.
Если функция f(x) непрерывна на отрезке [а, Ь\, то ее наилучшее приближение E„(f) стремится к нулю при неограниченном возрастании п.
Это — теорема, доказанная Вейерштрассом в конце прошлого столетия. Она имеет большое значение, гак как утверждает принципиаль-
20* "308
Глава XII. Приближение функций
ную возможность приблизить произвольную непрерывную функцию некоторым многочленом с любой наперед заданной точностью. Благодаря этому обстоятельству, множество всех многочленов любой степени в известной мере относится к множеству всех непрерывных функций, заданных на отрезке, так же как совокупность R рациональных чисел относится к совокупности H всех действительных (рациональных и иррациональных) чисел. В самом деле, каково бы ни было иррациональное число ос и как бы ни было мало положительное число г, всегда можно подобрать такое рациональное число г, что выполняется неравенство I а — г К е. С другой стороны, если f(x) есть непрерывная на [а, 6] функция и є — произвольно малое положительное число, то из теоремы Вейерштрасса вытекает существование алгебраического многочлена Pn (X), такого, что для всех х из отрезка [а, 6] имеет место If(x) — Ря(ж)|<є. Ведь по этой теореме наилучшее приближение En(f) непрерывной функции стремится к нулю при п-*со.
