Математика ее содержание, методы и значение Том 2 - Александров А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
Если Qn (х) — многочлен п-й степени, интерполирующий функцию f(x) на отрезке [—1, 1] в (/г-)-1) узлах, являющихся нулями многочлена Чебышева cos (и —j— 1) arccos х, то на этом отрезке имеет место неравенство |/ (х) — Qn (х) j ^ с In п En (/), где с — постоянная, не зависящая от я, a En(f) — наилучшее приближение функции / на [—1, 1]. В этом неравенстве мы можем заменить En (/) превышающими его в силу (18) или (19) величинами в зависимости от гладкости функции / и получить хорошую оценку приближения нашим интерполяционным многочленом. Так как Inn при возрастании п очень медленно стремится к бесконечности, то порядок оценки в данном случае мало отличается от порядка стремления к нулю E„(f). Преимущество интерполирования по чебышев-ским узлам заключается в том, что при других узлах в соответствующем неравенстве множитель с In и заменяется более быстро растущим множителем; он особенно велик в случае равноотстоящих узлов.
§ 7. РЯДЫ ФУРЬЕ
Возникновение рядов Фурье. Ряды Фурье возникли в связи с изучением некоторых физических явлений, к которым прежде всего относятся малые колебания упругих сред. Характерным примером таких iSV 7. Ряды Фурье
311
колебаний могут служить колебания обыкновенной музыкальной струны. Исторически именно исследования колеблющейся струны привели к рядам Фурье и определили направление их теории.
Рассмотрим (рис. 11) туго натянутую струну, концы которой закреплены в точках х = 0 и х = 1 оси Ох. Если вывести струну из равновесия, то она будет колебаться.
Будем следить за определенной точкой струны, имеющей абсциссу х0. Уклонение ее по вертикали от положения равновесия есть некоторая функция <р (Z) от времени. Оказывается, всегда можно так вывести струну из равновесия и в начальный момент Z = O придать ее точкам такие скорости, что в результате точка, за которой мы согласились следить,
Рис. 11.
будет совершать гармонические колебания в вертикальном направлении, определяемые функцией
<р = <р (/) = cos oJct -f- В sin Oikt. (20)
Здесь а — вполне определенная постоянная, зависящая только от физических свойств взятой струны (от плотности, натяжения, длины), к — любое заданное натуральное число, А и В — постоянные.
Заметим, что наши рассуждения относятся к случаю, когда струна совершает малые колебания. Это и дает нам право приближенно считать, что каждая точка хп колеблется только в вертикальном направлении; смещениями в горизонтальном направлении мы пренебрегаем1. Мы считаем также, что трения, возникающие при колебании струны, настолько невелики, что ими можно пренебречь. Таким образом, мы приближенно считаем, что колебания не затухают.
Функция (20), соответствующая тому или иному гармоническому колебанию, представляет собой периодическую функцию, имеющую
1 Исследования по этому вопросу имеют прямое отношение к дифференциальному уравнению колебания струны
д2и „ д*и I I \
Hfi=aI^ Ia=ITaJ'
о котором шла уже речь в главе VI, стр. 57. "312
Глава XII. Приближение функций
период . Законы колебания, определяемые этими функциями, конечно, не исчерпывают всех возможных законов, по которым может колебаться определенная точка ж0 струны. Однако они обладают замечательным свойством. Опыт и сопровождающая его теория показывают, что то или иное совершенно произвольное колебание, которое может совершать точка х0, надо рассматривать как результат наложения вполне определенных гармонических колебаний вида (20). Сравнительно простые законы получаются как результат сложения нескольких таких колебаний, т. е. они описываются функциями вида
п
у (t) = A0 -f- 2 cos a^ + Bk sin <*Ai),
1
где Ak и Bk— соответствующие постоянные. Эти функции называются тригонометрическими полиномами. В более сложном случае данный закон колебания приходится рассматривать как результат наложения бесконечного числа колебаний вида (20), соответствующих числам A = = 1, 2, 3, ... и некоторым, должным образом подобранным, постоянным Ak и Bk, зависящим от номера к. Таким образом, мы приходим к необходимости представления заданной функции <р (Z) периода , выражающей произвольный закон колебания точки х0, в виде ряда
<р (I) = A0 -f-(A cos akt -f- Bk sin akt). (21)
к=1
Имеются и другие случаи в физике, когда данную функциональную зависимость, не обязательно выражающую закон колебания, на основании физических соображений естественно рассматривать как сумму бесконечного тригонометрического ряда вида (21). Такой случай, например, возникает в том же во-ряс J2 просе о колеблющейся струне. Точный
закон колебания струны, которой мы в начале опыта придали определенную исходную форму, например изображенную на рис. 12, легко получить, если мы будем знать разложение функции / (х), определяю-
00
щей эту форму, B тригонометрический ряд вида / (х) = 2 % sin —X,
1
представляющий собой частный случай ряда (21).
Разложение функций в тригонометрический ряд. В связи со сказанным возникает важный принципиальный вопрос: какие функции' iSV 7. Ряды Фурье
313
2*
периода — возможно представить как суммы тригонометрических рядов.
