Математика ее содержание, методы и значение Том 2 - Александров А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
Для примера возьмем функцию /(ж) перида 2тс, изображенную на рис. 13. Очевидно эта функция непрерывна и удовлетворяет условию Дирихле, поэтому ее ряд Фурье равномерно сходится к ней.
Легко видеть также, что эта функция удовлетворяет условию /(—x) = —f(x). Этому же условию, очевидно, удовлетворяет и функция F1 (х) = / (ж) cos тх. Оно выражает, что график F1 (ж) симметричен относительно начала координат. Из геометрических соображений ясно,
TZ
что ^ Fx(x)dx = 0, откуда ат = 0 (то = 0, 1, 2, . . .). Далее нетрудно
-TZ
разобраться в том, что функция F2 (ж) = / (ж) sin тож имеет график, симметричный относительно оси Oy, откуда
К = 4 j рг (ж) dx =4 і ^2 (ж) dx-
о 316
Глава XlI. Приближение функций
Но он, кроме того, при четном т, симметричен относительно середины отрезка [0, тс] оси Ох, поэтому bm = 0 при четных т. При нечетных же т = 2/-)-1 (/ = 0,1,2,...) график F2(x) симметричен относительно прямой X = -Tj- , следовательно,
к
Ь2П 1 = 4"] F2 (X)dX-0
Но, как видно из чертежа, на участке -^-J просто f(x) = x, поэтому, применяя метод интегрирования по частям, мы получим
TC
~2~ г 6Я« = 4"1 Х Sla (21+^xdx = »
О
и, следовательно,
4 4V (— I)1 sin (2/ + 1)X
/=і
(21 + 1)2
Мы получили разложение нашей функции в ряд Фурье.
Сходимость частичных сумм Фурье к порождающей функции. В приложениях обычно в качестве приближения функции / (х) периода 2it берут сумму
S„ = -у- -)- 2 (ak cos кх -j- Ьк sin кх)
первых п членов ее ряда Фурье, и тогда возникает вопрос об ошибке приближения. Если функция /(г) периода 2тг имеет для всех х производную /W(x) порядка г, удовлетворяющую неравенству \flr)(x)\^.K, то ошибка приближения выражается следующей оценкой:
!/(х)-адк^У^,
где сг — некоторая постоянная, зависящая только от г. Мы видим, что ошибка стремится к нулю при неограниченном возрастании п, и притом тем быстрее, чем больше производных имеет функция.
Для аналитических на всей действительной оси функций оценка еще лучше, она выражается неравенством
1/ (X) -Sn(X)K cqn, (26)
где с и q — положительные постоянные, связанные с /, и при этом 1. Замечательно, что и, наоборот, неравенство (26), если оно имеет место для некоторой функции, влечет за собой аналитичность этой функции. Этот факт, открытие которого является достижением начала нашего § 8. Приближение е смысле среднего квадратического
317
века, в известном смысле примиряет разногласия Д. Бернулли и его современников. Теперь мы можем сказать: если функция разлагается в сходящийся к ней ряд Фурье, то отсюда еще далеко не следует, что она аналитическая; однако она будет заведомо аналитической, если уклонение ее от ее суммы первых п членов ряда Фурье убывает быстрее члена некоторой убывающей прогрессии.
Сравнение оценок приближений, даваемых суммами Фурье, с соответствующими оценками наилучших приближений этих функций при помощи тригонометрических полиномов показывает, что суммы Фурье в случае гладких функций дают весьма хорошие приближения, близкие к наилучшим. Однако в случае негладких непрерывных функций дело обстоит хуже: среди них, например, имеются такие, ряды Фурье которых расходятся на множестве всех рациональных точек.
Кстати заметим, что в теории рядов Фурье имеется давно уже поставленная и до сих пор не разрешенная проблема, заключающаяся в следующем. Требуется дать определенный ответ на вопрос: существует ли непрерывная периодическая функция f(x), сумма Фурье которой не стремится к этой функции при п -» OO для всех точек X. Наиболее сильный непревзойденный результат в этом направлении принадлежит А. Н. Колмогорову, доказавшему в 1926 г., что существует периодическая функция, интегрируемая по Лебегу, сумма Фурье которой не сходится к ней ни в одной точке. Но интегрируемая функция может быть разрывной; в частности, такова функция, приведенная А. Н. Колмогоровым. Поэтому проблема ждет еще своего окончательного разрешения.
Чтобы обеспечить приближение произвольных непрерывных периодических функций тригонометрическими полиномами, в настоящее время пользуются так называемыми методами суммирования рядов Фурье. Вместо сумм Фурье в качестве приближающих функцию тригонометрических полиномов рассматривают некоторые их видоизменения. Очень простой такой метод предложил венгерский математик Фейер. Согласно этому методу, для непрерывной периодической функции строится чисто формально ее ряд Фурье, может быть и несходящийся, а затем составляется среднее арифметическое первых п частичных сумм этого ряда
Св и = . (27)
Это так называемая сумма Фейера п-то порядка, соответствующая данной функции f(x). Фейер показал, что она при п-> со равномерно сходится к / (х).
§ 8. ПРИБЛИЖЕНИЕ В СМЫСЛЕ СРЕДНЕГО КВАДРАТИЧЕСКОГО
Возвратимся к задаче о колебании струны. Допустим, что в некоторый момент времени I0 струна имеет форму у = f(x). Можно показать, 318
Глава XlI. Приближение функций
что ее потенциальная энергия W, т. е. работа, которая освободится, если она из данного возбужденного состояния перейдет в состояние равновесия, равна (при малых отклонениях струны) интегралу W =
