Математика ее содержание, методы и значение Том 2 - Александров А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
Можно дать следующую иллюстрацию теореме Вейерштрасса. Пусть задан график произвольной непрерывной функции / (х) (см. рис. 9), определенной на отрезке [а, Ь]. Зададим произвольное малое положи-
u А
тельное число ? и окружим наш график полоской толщиной 2s, так, чтобы график проходил по середине полоски. Тогда всегда можно подобрать алгебраический многочлен
Pn (х) = а0 + ар + . . . + анхп,
достаточно высокой степени, такой, что его график окажется находящимся полностью внутри взятой полоски.
Сделаем следующее замечание. Пусть попрежнему /(х) есть произвольная непрерывная на [а, 6] функция, а Р„.(х) (п = 1, 2, . . .) — многочлены ее наилучшего равномерного приближения. Нетрудно увидеть, что функцию f(x) можно представить в виде ряда !(X) = Pl(X)Ar -j- [P2 (х) — P1 (х)\ -}- [P3 (ж) — P2 (ж)] + . . ., равномерно сходящегося к ней на [а, 6]. Это следует от того, что сумма первых п членов ряда равна Pn (х), причем max | f(x) — P11 (ж) | = En (/), a En(f)-*0 при со.
В результате мы пришли к новой формулировке теоремы Вейерштрасса:
Всякую непрерывную на отрезке [а, Ь] функцию можно представить в виде равномерно сходящегося к ней ряда алгебраических многочленов.
Этот результат имеет большое принципиальное значение. Он утверждает возможность представления любой непрерывной функции, как угодно заданной (например, при помощи графика), в виде аналитического выражения. (Под аналитическим выражением понимается либо элементарная функция, либо функция, полученная из последовательности элементарных путем предельного перехода.) Исторически этот § 6. Теорема Вейерштрасса
309
результат окончательно разрушил представления об аналитическом выражении, существовавшие .в математике почти до середины прошлого столетия. Мы говорим «окончательно», так как теореме Вейерштрасса предшествовал ряд общих результатов подобного рода, относящихся преимущественно к рядам Фурье. До получения этих результатов считалось, что аналитические выражения определяют особо хорошие закономерности, характерные для аналитических функций. Например, обычно само собой подразумевалось, что аналитические выражения бесконечно дифференцируемы и даже разлагаются в степенные ряды. Подобные представления оказались несостоятельными. Функция может вовсе не иметь производной на протяжении всего отрезка и все же быть пред-ставимой аналитическим выражением.
G методологической точки зрения значение этих открытий заключается в том, что они позволили со всей ясностью осознать, что принципиально математика имеет возможность своими методами изучать неизмеримо более обширный класс закономерностей, чем это думали ранее.
В настоящее время известно много различных доказательств теоремы Вейерштрасса. Большая часть их сводится к тому, что предлагается тот или иной процесс получения по заданной непрерывной функции / последовательности многочленов, которые равномерно приближаются к / при неограниченном возрастании их степени. Вот весьма просто устроенный многочлен:
it
Bn(X)=^cy к=0
который может служить для приближения непрерывных функций /(ж) на отрезке [0, 1]. Он называется многочленом Бернштейна. При неограниченном возрастании п этот многочлен равномерно сходится на отрезке [0, 1] к порождающей его непрерывной функции1. Здесь С* есть число сочетаний из п элементов по к.
Отметим, что аналог теоремы Вейерштрасса имеет место в комплексной области. Исчерпывающие результаты в этом направлении принадлежат М. А. Лаврентьеву, М. В. Келдышу и С. Н. Мергеляну.
Связь между порядком наилучшего равномерного приближения функции и ее дифференциальными свойствами. Отметим еще следующие результаты. Если функция /(ж) имеет на отрезке [а, Ь] производную /С' (ж) порядка г, не превышающую по абсолютной величине числа К,
1 Нужно сказать, что на практике многочлены Бернштейна, несмотря на их простоту, употребляются мало. Это объясняется весьма медленной их сходимостью, даже если функция имеет хорошие дифференциальные свойства. Я 04
Глава XII. Приближение функций
то ее наилучшее приближение E„(f) удовлетворяет неравенству
?„(/)< , (18);
где сг — постоянная, зависящая только от г (теорема Джексона). Из неравенства (18) видно, что En(f) при неограниченном возрастании л тем быстрее стремится к нулю, чем большего порядка производную имеет функция /. Таким образом, чем лучше (глаже) функция, тем быстрее стремится к нулю ее наилучшее приближение. Как показал С. Н. Бернштейн, имеет место также й в известном смысле обратное утверждение.
Еще лучшими, чем дифференцируемые функции, являются аналитические функции. С. Н. Бернштейн показал, что наилучшее приближение En (/) таких функций удовлетворяет неравенству
E„(f)<cq«, (19)
где с и q — связанные с / постоянные, причем т. е. оно
стремится к нулю быстрее некоторой убывающей геометрической прогрессии. Он также показал, что, обратно, неравенство (19) влечет за собой аналитичность функции / на [а, 6].
Мы привели несколько важнейших результатов, полученных в начале этого столетия и характерных тем, что они в значительной мере определили направление современной теории приближения функций. Значение этих результатов для практических оценок приближения можно уяснить из следующего примера.
