О некоторых вопросах теории моментов - Ахиезер Н.
Скачать (прямая ссылка):
S Cih I
= Х(с1( C2,..., сп).
S^i 11
Согласно теореме Hahn'a, в ? существует линейный функционал f0(x) такой, что
И/о Il = II У IUn = Х < ^
и /о (*)—?(*) при X С Ent в частности,
(г= 1, 2,..., ге).
Таким образом, линейный функционал /0 (л) является решением проблемы А. Наше утверждение доказано.
Пусть теперь {X1 }L E некоторая фиксированная последовательность линейно независимых элементов; положим
x(c1, C2,..., cm) = max Vc1Si
(т= 1,2, 3,...).
12 «л IH і
К свойствам 1°, 2°, 3° функции X (C1, сг,...,сп) можно теперь добавить следующее
Х(с1} с2, ..., с„)<Х(сх, C2,..., ст) при яг>ге. Определяя Em. Sfcm (/га= 1, 2,...) аналогично тому, как мы определили прежде En, Sfcn, условимся рассматривать En при tn> п, как подпространство Em, отождествляя всякую точку (сх,• • с„) С En с точкой (C1,..., с„, 0,..., 0) С Em.
174. 3°. Проекция тела на En (m>n), совпадает с
Действительно, если точка (?,..ст) С то X (C1,..., ст) < 1 и, следовательно, согласно 4° Х(сх, C2,..., сп)<1, т' е. точка
т—п
(C1,...,сп, 0,..., 0) С Sfm. Таким образом проекция Sfm на En содержится в Jtn.
С другой стороны, согласно предложению 1 всегда существует линейный функционал f(x) такой, что
/(Xk) = Ck (k=\, 2,...,п), И/Н-Цсь..., Cn).
С помощью этого функционала определим числа c~k(k = n-\-}, ..., т) равенствами
ck = f(xk) (k = п+ 1,..., т)
Согласно тому же предложению 1 X (сь . . ., cn) = ||/]| > >X(ct,..., сп, с^+ь..., с'т), что, вместе со свойством 4°, приводит нас к равенству
X (Cj, C2,. . ., Cn) = X (C1, C2,. . ., Cn, Cn4i, . . ., Cm).
Отсюда, если X(C1,...,cn) І, то и Х(с„.. .,сп, с'п+1,..., с'т) <1, т. е. каждая точка из Sfn служит проекцией некоторой точки из Sfm.
Предложение, таким образом, доказано.
4°. Если элементы Xu X2,..., хп, у линейно независимы и Z. > X (с„..., сп), то значения tj, при которых система
і /(Xi) = Ct (і= 1, 2,..., re), f(y) = ті
l5) • I 11/11 < L
имеет решение / СE*, заполняют некоторый замкнутый интервал (tj', ї)"); при этом, е с л и tj = і)' или tj", то для всякого решения / системы (4) имеет место равенство ІІ/Ц = L.
Без ограничения общности можно положить, что у~х„+1 к X (сх,..., с„) = 1, а следовательно, L > 1. Рассмотрим выпуклое тело Sf^jfl, определяемое неравенством
X (с1; ..., сп, г,) < L.
Очевидно, ЧТО + 1 получается ИЗ Anfi его растяжением в L(> 1) раз. Согласно предыдущему предложению, мы можем определить точку Р(съ с2,..., сп, с°+1) так, чтобы X (C1, с2,..., сп, с®+1) «вX. (^1, с2,..., c„i = 1. Эта точка будет лежать внутри Sfn41;. следовательно, прямая Ti1 = C1,..., %==с„, проходя через точку Р, будет иметь в качестве пересечения с Sf^+1 некоторый отрезок 7Ii = съ Ъ = сь • • •»7In = сп, V< 7I < V- Таким образом неравенство
l(cucz,...,cn,7\XL
175. имеет место при тех и только тех Kj1 которые попадают в интервал < ц'і tI* > • С другой стороны, написанное неравенство является, согласно предложению 2°, необходимым и достаточным условием существования решения /С Е* у системы (5).
Вторая часть утверждения следует из того, что всякое решение /СЕ* системы (5) удовлетворяет неравенству X (C1,...,
с„,Ч)<||/||«?.
Предложение можно обобщить следующим образом: 5°. Если элементы х{, х2, . • хп; у1г.ур линейно независимы и L > X (clt..с„), то точки (Ij1,1?, ..., TJp), при которых система
і /(Xl) = Ct (І=Х 2 ,п) w \ /(У*) = Tlft (k = 1,2, ..., р),
имеет некоторое решение /СЕ*, заполняют выпуклее /7-М ер НО е тело.
Без ограничения общности мы можем считать, что уь = xn\k (k = 1, 2,..р) и X (с1(..., са) = 1 (а следовательно, L > 1). Далее рассуждаем аналогично тому, как при доказательстве предыдущего предложения.
Рассмотрим выпуклое тело определяемое неравенством
і, S2,..?я+р) < L.
Очевидно, L • fn+p- Согласно предложению 3°, существует
точка Q (C1, C2,..., с„, с»^) такая, что
^ (cU • • •. сп> ' "> = ^ 1» • • •» = 1 •
Точка Q лежит внутри следовательно, линейное много-
образие S1 =C1,.. .,Sn = сп, проходя через точку Q, имеет в пересечении с некоторое р-мерное выпуклое тело 9?.
Отсюда и из предложения 2° вытекает уже предложение 5°. 6°. Если число измерений пространства E не меньше п + 2, то при любом Z.>X(cx,..., сп) системы (7) /(Xi) = Ci (г = 1, 2,... п), \\/\\ = L
имеет, по крайней мере, континуум различных решений.
Действительно, дополним систему X1,. . ., Xn с помощью какой-либо системы элементов J2,..., ур (р > 2) до системы линейно независимых элементов JC1,..., хт, ух,...,ур и рассмотрим выпуклое р-мерное тело 9?, определенное в предложении 5°.
Каждой точке (%,..., Tjp)С9?, соответствует некоторое решение /СЕ* системы (6), при этом X (clt..., cn, Tj1,...., Tjp)< ||/||< L. Следовательно, каждой граничной точке (?,..., т\р) тела 9Ї соответствует свое решение системы (7), ДЛЯ которого 11/11 = L. Так как граница 9? состоит из континуума различных точек, то отсюда следует предложение 6°.
176. • Введем следующие определения. Экстремальным элементом данного линейного функционала / будем называть всякий элемент хф 0, для которого
