О некоторых вопросах теории моментов - Ахиезер Н.
Скачать (прямая ссылка):
(20) F(x) = с.
Так как точка Ч не может принадлежать Н, то сф 0. Поэтому мы всегда можем пронормировать уравнение (20) так, чтобы с = 11/Цо* Тогда, так как Н~) L, то
F(X)=Z(X) = IIZIIo при X CL.
164. А отсюда следует, что
(21) F(x)=f(x) при любом X CG.
Действительно, выберем произвольный элемент а из L. Каков бы ни бул X С О, мы можем всегда найти такое X, что л: — IaCI; но тогда
F{x-ba)*=/(х — Щ.
А так как /(а) = F(a)? то отсюда следует (21). В силу (21)
(22) IIZ7II = Sup |У(х)|>8ир !/jWI = IIZlio.
лгС ъ лгС О
С другой стороны, так как сфера 5(0, 1) лежит от H по ту же сторону, что и точка 6, то, припоминая, что в (20) с = ||/ ||о, находим, что
FixX И/ Io при. Их» <1.
Сопоставляя это с (22), приходим к выводу, что Il^ll = II/Ilo-Теорема доказана.
Остановимся подробней на геометрической интерпретация нашего доказательства теоремы.
Гиперплоскость H называется, опорной гиперплоскостью к некоторому множеству Зй, если последнее располагается по одну сторону от Я и расстояние от H до этого множества равно нулю1.
Если g(х) линейный функционал, определенный в Е, то гиперплоскость
six) = UWr
как ,легко видеть, является опорной гиперплоскостью к единичной сфере S(0, 1).
Таким образом L, рассматриваемое в G, является опорной гиперплоскостью к единичной сфере подпространства G. Теорема Hahn'a получается, как прямое следствие того факта, что через L можно провести опорную гиперплоскость К единичной сфере всего пространства Е.
Отметим следующее важное следствие теоремы Hahn'a.
Теорема 7
Для всякого элемента аСЕ существует некоторый линейный функционал fCE* такой, что:
/(<*) = II «II. 11/11 = 1.
Доказательство
Рассмотрим одномерное пространство G, образованное всеми векторами X вида: x=* ta(t— произвольное вещественное число).
1 Т. е. Inf J X — у I, где X С 3R, у С H равен нулю.
165. Положим в этом пространстве
?(х) = *||«!|,
так что, в частности, ?(а) = |!а||. Очевидно, что IfyiIo=sI. Расширяя функционал у(х) (с сохранением нормы) до функционала /(л), определенного во всем Е, мы получим искомый функционал.
Заметим, что всякий функционал f(x), удовлетворяющий условиям теоремы 7, определяет опорную гиперплоскость f(x) = — IIaII к сфере Il * Il < (I a Il.
Между прочим, теорема 7 показывает, что множество Е* всех линейных функционалов, определенных в Е, кроме функционала 0* всюду равного нулю, содержит и иные функционалы. Не трудно догадаться, как естественно определить операцию сложения и умножения функционала на скаляр. Норму функционала мы уже определили ранее. Ввиду всего этого, множество Е* также можно рассматривать, как некоторое линейное нормированное пространство. Это пространство называется сопряженным пространством к пространству Е.
2. Вернемся снова к рассмотрению конуса к, введенного в § 1. Теорема 7 позволяет доказать следующее уточнение теоремы 4.
Теорема 8
Для того, чтобы конус К бы л ост рым конусо M необходимо н достаточно, чтобы всякий ф yjH к ц и о-нал /С Е*допускал разложение
/(X)=Z1(X)-Z2(X) (*С Е),
где ZtW и /»(*) линейные позитивные функционалы, удовлетворяющие условию
(23) ИЛ 11 +ИЛИ < СЦ/11,
в котором С—некоторая константа, не зависящая от /.
Доказательство
Достаточность доказанного условия установлена в теОреме 4. Для доказатіельства необходимости условия выберем в К произвольный положительный элемент и. Пусть теперь XiH(U), т. е.
(24) и ±х^ е.
Построим для элемента х функционал /Cf* такой, что:
/(•К) = 11*II, II/II "1.
166. Пусть/ =/і—/2 разложение функционала /, о котором идет речь в теореме 7. Тогда, в силу (23),
(25) ИЛИCC, ІІЛІКС. ' Кроме того, очевидно
ll*!l-/(*)<l/i(*)l + l/,(*)|. Следовательно, при некотором г (/=1,2)
(26) 1/|(*)1>4-НЛН-
Так как функционал /,(х) позитивен, то из (24) следует, что
(27) П(и) ± ft {.к) > 0, т. е. |/i(x)| </,• (и). Сопоставляя (25), (26) и (27), находим
||*||<2|/,(л:)|<2/|(я)<2С|>Ц.
Таким образом, множество H (и) ограничено, что и требовалось доказать.
Так как мы выбрали положительный элемент и произвольно то попутно мы доказали предложение.
Теорема 9
Если конус /С острый, то как бы ни был выбран положительный1 элемент и, множество элементов х, удовлетворяющих неравенству
— и<х<и,
ограничено.
§ 3
Посмотрим, к чему приводят полученные результаты в некоторых конкретных пространствах.
1. Пусть Q произвольное абстрактное множество, переменный элемент которого обозначим через q.
Пусть R линейное нормированное пространство, элементами которого служат некоторые ограниченные функции x(q) (относящие каждому q некоторое вещественное. число) с нормой, определяемой равенством,
(28) ||x||=sup|x(?)|.
9 CQ
Предполагая, что пространство R содержит неотрицательные функций x(q)> О (^CQ), назовем функционал /СR* поэитив-н ы м, если на каждой такой функции он принимает неотрицательное значение: /(•*)> 0.
1 От требования положительности элемента и можно отказаться, но это не представляет интереса.
