О некоторых вопросах теории моментов - Ахиезер Н.
Скачать (прямая ссылка):
т
Z(*) = (/,*) = YfXі-1
Найдем норму ІІ/Ц функционала f(x). Очевидно,
44 т'
і if, *)1<21/г1- max< 1^1-11*11-Si/11.
1 1 < і < m 1
Если в этом соотношении положить X1 = signj/'(г = 1,2, ..., mj, то в нем будет иметь место знак =. Отсюда
li/l! = SupI^ = і
Таким образом в данном случае сопряженное пространство Lm= М*т можно рассматривать, как пространство векторов /—(Л Л ...,/") с определением нормы
т
I! fll-Sl/H-1
Легко видеть, что пространство Mtn и Lm взаимно сопряжены1, т.1е. если уже в основу положить пространство Lm, то сопряженным к нему пространством будет пространство Mm.
Покажем, что вектор / С Lm нормален в том и только в том случае, когда все координаты вектора / отличны от нуля:
рф О {і =1,2,..., т).
В самом деле, при выполнении^ этого условия из равенства
Ttl Ttl
К/.*) 14H"?!/'!• max IxtI = IIZII.11*11
t 1 1 1< і < т
вытекает, что
(14) Xі = Csignf (і = 1, 2,3,... ,т
480. Наоборот, если некоторое fk = Q, то в экстремальном элементе х = (хг, Xі,..., х"1) функционала / соответствующая координата хк может быть выбрана совершенно произвольно (независимо от других координат).
Нетрудно также убедиться в том, что вектор X=(х1, X2, ...,х"1) нормален тогда и только тогда, когда все его координаты равны нулю за исключением какой-либо одной из иих. 2. Пусть теперь
X1 = (aj,..., afV
................(tt<m)
Xn= (fli, ..., a")
какая-либо система из п линейно независимых элементов из Mm. Если мы попробуем для нее сформулировать задачу В, то придем к следующей задаче
1. Задана матрица ранга л(< т)
а\ .
а\ .. 2 , . а„
af . . пт • "л
и числа с„ с%, ..., сп Найти
(15) -J- = min max \а[ S1+^+ ...
E 1< ї <т
нри дополнительном условии относительно Є:
(15,) ^iSl-I.
і
Сформулируем теперь тот результат, к которому приводит основное предложение 2е § 1.
1а. Искомое число X задачи 1 -может быть также определено равенством
(16) X = min (I/11 +1/81 + • •. +1/"11)
при дополнительных условиях относительно 1,2, ...,т):
• a\f і+а\ f +...+Uff1 = C1 (16,) .................
1 Вообще для всякого конечно - мерного пространства E с любым определе-
нием нормы имеет место равенство (?*)* = Е.
181. В частности, если я =/га, то
т
ь-21/Ч
і
где ч ис л а /' (i = 1,2, ... , т) определяются однозначно из (Ie1).
Пусть теперь минимум в (16) достигается для некоторого вектора /= if1, f*,..., fm), у которого все координаты отличны от нуля. Тогда, согласно предложению 9°, вектор 8 = (81,Sa,..,, Sm) с координатами
Si-=^1 S1+{... fa'„S„ ii =1,2,., .,т),
для которого достигается (15), определится однозначно (как экстремальный элемент /). Именно, согласно (14) будем иметь
8' = Csign/! ii = 1,2,..., /га);
кроме того, в силу того, что
if, 8)= (/,?^) = =
будет
C = ^r1- = X. т і
SIZiI
1
Таким образом, мы пришли к предложению: Ib. Если минимум в (16) достигается для некоторого вектора /о= (Д, f\,... ,/"), у которого все координаты отличны от нуля, то
^S1 + ... + < Sn| = -^L- = 1у
mm max
% 1<1<т
1
Минимакс здесь до с тиг ается дл я тех и только тех Si (/ = 1, 2, ...,«), для которых одновременно
(17) fl<s1+...+a«Sn=-i^- (і = 1,2,.. .,m).
Заметим, чтр указанное условие (существование /0 с координатами отличными от нуля) легко проверяемо при п = т. В этом случае числа Sf (/=1, 2,...,/га), для которых достигается минимакс, определяются из (17) однозначно.
3. Задачи I и предложения Ia и Ib имеют непосредственное отношение к теории „наилучшего приближенного" решения несовместных систем уравнений.
182 Пусть нам задана несовместная система уравнений (18) A^1+ ... ?„_! = /<' (г=31,2,..., т),
в которой число уравнений больше числа неизвестных (/га > ге).
В этом случае вопрос о точном решении системы (18), конечно, отпадает; однако,- можно поставить вопрос о наилучшем приближенном решении системы (18) в каком.-либо смысле, например, в смысле Чебышева. Под последним мы имеем в виду нахождение таких значений ^ (i = 1,2, ..., ге — 1), при которых максимальное отклонение
шах I a'Z1-4- ... +O1r^1Zn-I-ItI
¦1 < І <ЯІ
имеет возможно меньшее значение.
Так как при этом, конечно, мы без ограничения общности можем считать, что векторы (а1р а?,..., af) (i = 1,2, ... , ге —Л) и вектор (/1, Р, ... , Im) линейно независимы, то эта задача является частным случаем (но к которому можно свести общий случай) задачи I, если в последней положить
C1 = C2= ... = Cn-I = 0, Cn= I, O1n = -Ii (г= 1, 2,... ,от).
Применяя к этому случаю предложения [1а и Ib, мы приходим к Следующим выводам:
Ic. Если ранг матрицы
а1 Iх
П-1
ат ... ат Vа
1 ' • ' п—1 *
равен ге (ге < /га), то
(19) min max | aft +al2Z2+ ... + a^ Zn^1-Ii | =
% l<i< m
где (20)
X=TamfiIfiI
при дополнительных условиях относительно f (І= 1, 2,.,.,/ге)
a}/1 + a\f+ ...+a™fm = 0
(20t)
и (202)
flL/1+0,-/+ • • -+aH-Jm = 0
/1/1+... +ImZn = -I.
183. *
Если минимум в (20) достигается для некоторого /g = (/?, Д,---,/о)> У которого все координаты отличны от нуля, то минимакс в (19) достигается для тех и только тех S1, Ss-, ..., для которых одновременно '
