Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Ахиезер Н. -> "О некоторых вопросах теории моментов" -> 50

О некоторых вопросах теории моментов - Ахиезер Н.

Ахиезер Н., Крейн М. О некоторых вопросах теории моментов — Х.: АНТВУ, 1938. — 257 c.
Скачать (прямая ссылка): onekotorihvoprosahteoriimomentov1938.djvu
Предыдущая << 1 .. 44 45 46 47 48 49 < 50 > 51 52 53 54 55 56 .. 69 >> Следующая


\\х\\~ j\x(t)\dt.

эг

Мы будем считать известным 2, что всякий линейный функционал /С Ещ имеет следующее аналитическое выражение:

(25) f(x) = fx(t)*(t)dt,

ш

где а (?) некоторая измеримая на 9)1 в существенном ограниченная функция; при этом норма функционала / вычисляется по формуле: 4

(25х) ІІ/Ц = yraimax I a (f)j.

t с яг

1 Таким образом, мы не будем различать двух функций х (f) С и у (t) С если они совпадают почти всюду на 2ft, ибо в этом случае

Il X-^II = O. Должно быть ясно также, что мы будем иметь в виду, говоря о линейно независимых функциях хi(t) (і = 1, 2,..., я).

! См. стр. 65 книги Banach'а; там приведен вывод формулы (25) для случая 2Д=<в, Ь >, но рассуждения легко обобщаются на общий случай.

187. В силу (25^ и (25j) условие экстремальности функции x(t) с Ещ по отношению к функционалу / запишется в виде равенства

fx (t) a (t) dt = + / H*) I dt • vraimax | a (t) |.

эг шг «сад

Но, как легко видеть, это равенство имеет место в том и только в том случае, если

(26) a (t) = evrai max | а (^)1 sign х (t) почти всюду на 9?.,

t свд

где 3fx обозначает множество тех точек t С SOl, для которых

X it) ф 0, а є = ± 1.

Следовательно,,, функция х (t) нормальна (как элемент Em) тогда и только тогда, когда 501-? множество меры нуль, ибо в этом и только в этом случае функция a (t) определяется из (26) с точностью до произвольного скалярного множителя, и именно, по формуле:

a (t) = С sign' X (f) (почти всюду на 3R).

В пространстве Em задачи А и В будут зйучать следующим образом:

A. Задано п функций X1 (t) С Еш(і = 1, 2,..., п). Найти необходимые и достаточные условия для чисел

л

Cu Сг,..., сп, L > О, L> 0), чтобы существовала і \ измеримая функция а(?), для которой:

/Xt(f)а(t)dt = Ct (і = 1, 2,..., п), sup |<x(?)|«gZ..

эг

B. Заданоллинейнонезависимыхфункций xi{t) С E$i

л

и я чисел Cu Ci,..., cn(?jcj>0). Найти минимум

і

-J- = min f \ IiX1 (?)+... +SnXn (*) I dt.

л ™

Sc , ®

ClIf= 1 ч

1

Разбирая эти задачи, покажем прежде всего, что:

п п

Iа. Если у = ixt{t) и Z=Yl^tjct(t) суть два мини-1 і -мизирующих элемента задачи В, то равенство 188 (27)

sign^Sа,*, (t)^ = sign (t)

выполняется почти всюду на пересечении множеств 9? и

В самом деле, пусть а0(?) — некоторое решение проблемы А при L = ^(C1, сг,..., сп). Тогда, согласно предложению 7° § 1, функции y(f) и z(t) суть экстремальные функции функционала f0, соответствующего функции a (t) и, следовательно, в силу (26) и ТОГО, что /оСу) =Zo(Z) = 1

а(?) = Xsign|^afXf(?) j (почти всюду на %)

а (f) = X signj^ ^ biXi (t) J (почти всюду на 9їг).

А отсюда уже вытекает (27).

Назовем п функций Xi (f) ( Em (і = 1, 2,..., п) вполне не-

п

зависимыми, если любая их линейная комбинация ^SfX;(?)

і

(|s*>o)

дает нормальную функцию, т. е. не обращается в нуль

ни на каком множестве меры > 0.

После всего сказанного нетрудно заключить из предложений 6°, 7°, 8° § 1, что имеет место

Теорема 1

Пусть Xf(t) (i = 1,2,..., п) вполне независимы. Если

л л

У (t) Sa'*' № а' ~ ^ есть минимизирующий эле-1 1

мент задачи В, то всякая иная функция z(t) = = ^ibixt(f) 6 уде т также минимизирующим

элементом з'адач.и В тогда и только тогда, когда

siSn S (t) j = sign 5JafXf(?)j (почти всюду на 9ft). Теорема 2

Пусть функции xt(t) (і = 1, 2, ..., п) вполне независимы.

189. Для того, чтобы система (28) f xt(t)o.(t)dt = cx (і = 1, 2,..., и), sup|e(Q|<?.

Зй

имела континуум существенно различных решений. a(t), необходимо и достаточно, чтобы

(29) -i-<JL= min J\Zlx1(t)+...+Znxn(t)dt.

п ш

Scfii=1 1

Для того, чтобы система (28) имела в существенном одной только одно решение, необходимо и до~ статочно, чтобы Z- = K.

При выполнении этого условия решение a(t)< определяется по формуле

a (t) яв L sign

^aiXi (t)

і

n

, (почти всюду на SR), •

где агрегат ^ atxt (0 (2 0iCi = есть какой-либо ми-

Ii-

нимизирующий элемент задачи В, т. е. элемент, для которого достигается минимум в (29,).

Поясним роль и смысл теорем 1, 2 на некоторых частных-примерах.

Поставим, например, вопрос об определении

(30) min +

? Ii

при дополнительном условии

(3?) i; CiSi-i.

о

В этой частной задаче В:

SK = <- 1, 1 >, Xi(t) = tl (і = 0, 1,..., п) К

Так как степени t' вполне независимы, то здесь] применима теорема 1. Пусть

п

P(t) = A0 + Axt+...+Anf QciAt= 1>

1 А следовательно, п заменено на п + 1.

190. какой-либо полином, на котором достигается минимум (30). Пусть Ot1 < Ot2 <.. • <ар(р <п) те точки, в которых он меняет знак. Положим

р

Q (*) = сП (*- «О = Д> + Btt+ ... +Bpf

і

и подбёрем константу С так, чтобы

sign P (t) = sign Q(t)

и чтобы

о

По теореме 1 полином Q (t) будет одним из искомых минимизирующих полиномов. Таким образом, минимум (30) всегда достигается для некоторого полинома с простыми вещественными корнями, лежащими внутри интервала (—1,1).

Кроме того, согласно теореме 1, минимум в (30) достигается тогда и только тогда, когда
Предыдущая << 1 .. 44 45 46 47 48 49 < 50 > 51 52 53 54 55 56 .. 69 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed