О некоторых вопросах теории моментов - Ахиезер Н.
Скачать (прямая ссылка):
Ь
Ф(?) = /(У) = Jf(Xt) d*(t) а
для любой функции ср Q G, а следовательно, для любого функционала / С Е*.
1 Если кривая L непрерывна в обычном смысле, т. е. Hm Xt — Xi0 (a < ta<ib)
(-> t „
то нетрудно показать, что определенный нами интеграл совпадает с существующим в этом случае пределом
Іі
Iim^X5 [a (<м !)-*(/!)].
1 1
где a = I1
i<o СТАТЬЯ IV
М. КРЕЙН
L - ПРОБЛЕМА В АБСТРАКТНОМ ЛИНЕЙНОМ НОРМИРОВАННОМ ПРОСТРАНСТВЕ
§ і
В дальнейшем буквой E мы обозначаем некоторое линейное нормированное пространство1.
Нас будут интересовать две следующие задачи:
A. Задано п. линейно независимых элементов X1, х2,-хп, на Е. Найти необходимые и достаточные
условия для чисел CltC2,..., сп. L ^ Cii > О, L > 0 j , чтобы
существовал линейный функционал2 f(x), удовлетворяющий соотношениям
(1) /(Xi) = ^IIZIKi ¦ (/-1, 2,..., я).
B. Задано п линейно независимых элементов Xb Xi,..., хп н з Е. Найти
(2) JL = Inf Il S1X1 + S2X2 -;-...+ SnXn Il при дополнительном условии
СА+^+...+CnSn=I,
где числа cu с2)..., cn > oj заданы.
Заметим прежде всего, что в задаче В нижняя грань достигается. В самом деле, пусть
1 = lim Il Sfx1 + S<*>x2+... +?*) xn II,
1 Относительно определения и основных свойств линейных нормированных пространств см. §1,2 предыдущей статьи. Здесь мы используем только лишь небольшую часть содержащегося в этих параграфах. Заметим также, что настоящая статья представляет из себя небольшую переработку лекций, читанных зимой 1936 г, в Научно-исследовательском институте математики и механики в г. Харькове.
* Говоря просто „линейный функционал t (л:)", мы всегда будем иметь ввиду линейный функционал, определенный во всем Е, т. е. элемент сопряженного пространства ?*.
171.
где
C1^ + с#*> + ... + = 1 (?=1,2, 3,. ..)-
Так как элементы
= SWx1 + + ... + ^xn
образуют, очевидно, ограниченное, а следовательно1, компактное множество в п- мерной линейной оболочке En векторов X1, Xi,..., хп (En — совокупность всевозможных векторов X вида S1X1-I-... + Snxn), то ПРИ некоторых km(m=* 1,2,...) будет существовать предел
Iim ( Sf^x1+ ... + S^nMJx1+ •. .+Z0nXn.
т-усо
Но из этого равенства вытекает, что2 Iiejx1+... +S»*n||- lim 11^4 + ...+5^411 = ^
m-> оо
а также
.?- lim б}*«) (у = 1, 2,..., п)>
т-Уоо
и следовательно,
. ^+^+...+^=1.
Таким образом, наше утверждение доказано. Число X, определяемое из (2), будем обозначать через X(с,, с2,• • •, сп).
Согласно (2) функцию Х=Х(с1( с2,..., с„) можно определить также с помощью равенства
S Ctii п
A (C1 ,C2,... ,сп) = max -= max ?
IISSwII л A-I IIS^1II-I
i—1
Отсюда не трудно заключить, что
п
1°. 4^1, Ca,..., Cn) > 0, если ?cf>0,
'=I
2°. X (tcu tc2,tca) = I ^ IX (Cll C2,..., ca), 3°. X (C1 +c^, сг + с^...,сп+с'п) < X(c„
* > Cn
Введем в рассмотрение пространство En векторов с (Ci, C2,...,сп).
1 См. лемму § 2 предыдущей статьи.
2 См. доказательство леммы § 2 предыдущей статьи.
.72 В силу 1°, 2°, 3° мы могли бы определить в этом пространстве норму И с Il равенством1
(3) Il с Il-4??. Л> с«)-
А следовательно2, в силу конечномерности пространства En найдутся две константы ц>0 и М> О, такие, что
(4) V- V cl + cl+...+ti < XXc1, с2,... ,?) < M Vrc\ + cl+ ...+?„
и X (clf Ca,..., с„) будет непрерывной функцией координат.
Рассмотрим в En множество точек определяемое неравенством Х(с0, Cf,..., с„)^ 1. Покажем, что:
есть выпуклое, ограниченное тело, т. е. выпуклое, ограниченное, замкнутое множество, имеющее внутренние точкн.
Действительно из (4) следует, что йп, с одной стороны
содержится в евклидовой сфере
Z« ^ 1
ft
1
а с другой стороны, содержит сферу'
M2'
В силу непрерывности функции X {си C3,..., с„) множество A,,— замкнуто. Наконец, если X (съ с2,..., сп) 1, X (с», Ct, ' • •, Cn ) 1, то, согласно 2°, 3°,
Mfc1-H-tCt,..., tca+l—tc„) ^tkffi1,..., с„)4-
+(1— t)b(c[,сп)< і (0<г<п),
иными словами, если точки P и P1 принадлежат то и отрезок их соединяющий tP+ (1 — t)P' (0<t<l) принадлежит t„, т. е. Jtn выпукло.
2°. Система (1) имеет решение тогда и только тогда, когда L>l(c1,..., сп) (основное предложение).
Действительно, если линейный функционал f(x) является решением системы (1), то при любых Sf (і= 1, 2,..., п)
/(Щ
< II/II'
<L
1 Если вспомнить определение сопряженного пространства, то читателю станет ясно (см. доказательство теоремы 1), что пространство En с определением нормы (3) является не чем иным, как сопряженным пространством к En (En — линейная оболочка векторов х„ X2,..., хп).
* См. доказательство леммы § 2 предыдущей статьи.
173. и, следовательно,
< min
Si
Б Ьхі і
п
S сііі 1
= min
п
S C1-Si=I і
1
T'
Пусть теперь Z.>X(c,, C2,-.., с„)> Рассмотрим re-мерное пространство Em состоящее из элементов X вида
Положим
* «2 ь*«.
<р (л) является линейным функционалом в En с нормой
I tP IUn = sup ^-pjp = SUp „
X с ? Ч
