О некоторых вопросах теории моментов - Ахиезер Н.
Скачать (прямая ссылка):
о
где G (t) — произвольный неотрицательный в интервале (—1, 1) полином, подчиненный единственному условию, что должно выполняться равенство (30,).
Итак, с помощью теоремы 1 мы очень быстро выяснили характер решений задачи на определение минимума (30). Эта задача служила уже предметом исследования § на стр. 97—102. статьи I.
А что дает теорема 2? Очевидно, она дает связь указанной задачи с проблемой, которую мы в главе III статьи I назвали L - проблемой.
Зная качественный характер решений этих задач, можно без. особого труда показать, что число \ = i(cu Ci,..., сп) есть корень того алгебраического уравнения, которое приведено в § 4. гл. 3 статьи I. Но мы себе не представляем, как можно было быт доказать, без развитых в статье I методов теории функций: комплексной переменной, ЧТО \ является наибольшим KOpHeMi этого уравнения.
Аналогичные замечания можно сделать относительно соответствующих тригонометрических проблем, к которым мы придем, если положим SOl =<0, 2я>, л:0(?) = 1, xtf) = cos t, ха(?) = = sin t и т. д.
2. Рассмотрим теперь задачу об определении минимума интеграла
я
(31) X = fn jw)-^iX^Xdt,
W 1
19», где *;(?) (t ==1, 2,..., п) и g(?) заданные функции из Ещ. Полагая Хл+1 (t) = g(t), мы можем рассматривать эту задачу, как частный случай задачи В, в которой п заменено на я+1,
^1 = . . . = Cn = O1 Сп+1 = 1.
Если минимум в (31) достигается при некоторых Zi=Cit
п
(i=l, 2,..., п), то функцию ^CitXi(t) будем называть найме-
г
нее уклоняющимся агрегатом'от функции g(t) в смысле (?).
Покажем, что:
2°. Каковы, бы ни были функции xt(t) С Em(i = 1, 2,;.., п), всегда найдется функция g(t) Q Em, для которой наименее уклоняющиеся от нее в смысле (L)
п
агрегаты ^ ZiXi (t) определяются не однозначно, і
Действительно, подберем сперва функцию g,(f) такую, что при любых коэфициентах Sf ($=»!, 2,..., п) функция .
> .і
нормальна, т. е. обращается р нуль только лишь на множестве меры нуль.
Это всегда возможно, так как, например, всегда найдется такое а(0<а<1), что функция g^t) — ^—t0)* при ?0<inf? (t Q Ш) будет удовлетворять этому условию 1. Пусть
а
J- = mln J gl(t) ZtXi (t) яг і
dt
и пусть
ж і
dt.
Рассмотрим теперь систему уравнений
1 Действительно, если бы не нашлось такого а, то каждому «(0<а<1) отвечали бы числа (і = 1, 2,..., я), такие, что
(t - t0f- ? ifxi (0 = 0 прн t f Ж,
і
гДе SJla С SJl некоторое множество положительной меры. Пусть теперь {*„}/ последовательность положительных чисел, стремящихся к нулю (єп~*"0)- Так как а пробегает континуум значений, то при некотором г' = г„ найдется несчетное множество ансамблей SjJf0 таких, что mes 2J2, >
192. fa(t)x,(t)dt~ O (і= 1, 2.....«),/«(<)g(f)A-l, sup |а(?)| == Iv
І Jk ,CSi
n
Так как элемент h(t)=gt(t)—^atxi{t) нормален, то написан-
1
ная система имеет единственное решение
R
a (t) = X1 sign {?,(0 - S aiXi (f)} = X1S (t).
і
Таким образом, мы убедились в существовании функции е(?), равной почти всюду + 1 и такой, ч^го
(32) . fxt(t)»(f)dt = 0 (/ = 1,2,...,я).
JW
Всякая такая функция &(t) дает возможность построить функции g(t), существование которых утверждается в 2°. Для этого стоит только положить
(33) g{t)-*{t)
ZdiXiH) 0)
где а?/(г = 1, 2,...* я) произвольные числа. Действительно, при любых Si в силу (32), (33)
/IsW-S W U > / (s W - SW dt =
as I і I © 1 . і J
= fgit)*V)dt = f\g{t)\dLt
W W
Рассмотрим попарные непустые пересечения SJRa SJJJ? именно этих ансамблей. Очевидно, их снова несчетное число. Следовательно, будет существовать такое г">0, что несчетное множество пересечений 2Ra SJJJp будут иметь- меру большую в*. Продолжая так рассуждения далее, мы убедимся в существовании некоторого множества 2ft0 = SOia, ... Sfta441 (и даже несчетного числа таких
множеств) с мерой >0. Но тогда
(t ~ t0) V = 5<*/> Xi (t) при * С Sft0 (/ = 1,2,..я + 1). і
а следовательно, будут существовать такие A1,..., An4l >.0), что . с
п +-1 -. і
YiAjd-UfJ= 0 при t С SDi0; ¦ • .....
і
а так как mes SjJf0 > 0, то это невозможно, ибо левая часть равенства аналитическая функция (более того, она имеет не более п нулей).
Этим рассуждением автор обязан одной беседе с Б. Я. Левиным.
193.
Ахиезер и Крейн—65—13 С другой стороны, при любом 6(0 <6 < 1) в силу (33) и (34)
sign {g (?)-0 ?<*,*,(*) } = «(*),
і
а следовательно,
/ Uo - 9 ? dtXt WI dt = fig (t) - 0 YdiXi (t) )е (t) dt =
an І і I я ^ . і '
= fgit)t(t)dt=f\g(t)\dt,
а» яг
л
т. е. при любом 0(о<0<1) агрегат 0 ^ dtxt(t) наименее укло-
1
няется от git). Предложение 2° доказано.
В связи с ним представляет особый интерес то обстоятельство, что при Sft=< a, b > всегда можно построить такие непрерывные функции Xi (t) ? = 1, 2,..., п), что любой непрерывной функции g{t) будет отвечать один и только один агрегат
л
^S1Xi (t) наименее уклоняющийся от нее в смысле iL). По-1
кажем это.
Итак, пусть Щ1=<а, ?>>. Условимся говорить, что непрерывные функции Xi it) С E(a,b)ii = 1,2,..., п) образуют систему Т, если при
