О некоторых вопросах теории моментов - Ахиезер Н.
Скачать (прямая ссылка):
R
Sk= ft"do(t) (? = 0,1,...).
-R
Обозначим через Cr ансамбль всех вещественных непрерывных функций в интервале <—R,R>. Определим для всякой пары функций <fC CR, ^C Cr скалярное произведение (<р, ф) по формуле
R
(?>ф)= /*(*)ф (*)<*>(*). -R
Кроме того, положим
I <? и = /Oe, <?)•
Очевидно, что I <f |s > 0 и знак равенства имеет место тогда и только тогда, когда tp (?)=0 на множестве точек роста функции a (t). Это множество будем обозначать через Ea. Условимся писать
<р если |«р —ф|„ = 0 (<р, фССй).
Скалярное произведение (<р, Ф) обладает обычными свойствами:
1- (<Р, Ф) = (Ф. 9)
2. (Х<р, ф) = X (<р, ф)
3. (ь + Ъ> Ф) = (<Pi. Ф)+ (fa. Ф)
S
4. (<р, <р) > 0, если (р ф 0. Отсюда легко выводится неравенство Шварца
К?, ф)1 < іїі» 1Ф|.,
в котором знак = имеет место тогда и только тогда, когда
либо I ip |ф|„ = 0, либо ф = Ctp (С — константа).
Напомним также, что из неравенства Шварца вытекает неравенство
1<е+Ф1* < І<рі* + ІФ1-;
действительно,
I * ¦+ Ф \l = Op1 *) ¦+ 2(<р, Ф).+ (ф, Ф) < I <? |V+ 2 [ f И ф |а +1 ф If. Введем теперь некоторые определения.
214. Последовательность {<рп} элементов из Cr назовем исходящей с я, если
|<Pm — fPnIo-* О При т,П-> ОО.
Кроме того, будем говорить, что последовательность {<рп}, имеет а-предел ifCC/jH писать
(р„А<р или f =Ilmtpn,
если
|? — <Рп |.-»0.
Легко видеть, что если последовательность {tp„} имеет 3-предел, то она о-сходящаяся, но обратное, вообще говоря, не верно.
Читателю должно быть также понятно, какой смысл мы вкладываем в равенство
(11) (р = ^+.<р2+...,.
где If и tpi (/= 1, 2,...) элементы из Cr,
Каково бы ни было s>0 для всякой функции to С Cr, можно по теореме Вейерштрасса определить число п и константы .. так, чтобы
IfW-SWOKe (~R<t<R).
о
Но тогда (12)
С другой стороны, (13) min
где
Ck
T-S ^
= (<?, Pk) = /tp [t) Pk(t) do (t) (k = 0, 1,, .., п);
при этом минимум в (13) достигается при Sft = Ckffi = 0, 1,...). Сопоставляя (13) с (12), мы приходим к выводу, что для всякой функции tp С Cr справедливо равенство
* °° А
cp = S CkPk,
0
где
Pk) (? = 0,1,...).
Заметим, что если <p„-^ip, а фпАф, то (<рп, <1>п)—;>(<Р> Ф)- Действительно
215. (f, ф) — (<9п, <Ы = — <?п> <]>) + (<f>„, ф — Ы
а
I (<р-<рп, «!>)!< І9 —9п|.1ф|. И |(?»,ф-фв)|<|?пИф —
Отсюда следует, что равенство (И) можно почленно скалярно умножить на любой элемент <1>сCr, т. е. что (11) влечет за собой
00
(<р,4>) = 2(ч>*, W-
1
В частности, если разложение
о " А
(H) * =
О
Л
скалярно умножить на Pj, то, пользуясь соотношениями ортогональности, мы получим равенства Sj- = Cj (J = О, 1, ... ), что доказывает единственность разложения (14).
Заметим также, что из равенств
OO д OO Д
<р =^iCkPk,
О о
вытекает, что
со
(ъ W=YiCkdk,
о
ибо
^dkPk) = ^iCudk.
О О ' О
2. Оператор U, относящий каждому элементу С Cr некоторый элемент |> = ?/<р С Cr, называется линейным, если
1- ?/(<Єі + <р= + 2. U =
Пусть
Л О 00 Л
UPi-^uikPk (і = о, і,...);
о
тогда под Il t/Il мы будем понимать бесконечную матрицу
Il Uik Элементы Uik (i, k — 0, 1, ...) можно определить еще так:
Uik = (UPilPk) (і, к = 0,1,2,...).
,216 Определим оператор А равенством
(15) -A<p=*p(f). Так как
(16) t Pi (t) = b,-i Pi-! (*) + Oi Pi (f) + Ьі Pi+1 (t) (і = 0,1,2,...),
то
а0 b0 0 0 ... О О to Я) S1 О ... О О О bx CL2 Ь2... О О О О . . . OO
11411-IIettIir
о о
Ясно, что следует понимать под суммой, разностью или произведением двух операторов, а значит, степенью и полиномом от оператора.
В дальнейшем нам придется иметь дело с оператором
g (А), где g (х) = Xp + O1 Xp-1+... +ар-Очевидно, что в силу определения (15)
g(А) <р =#(0<р(0 при любом if С Cr.
Пусть
т. е.
S(A)Pi = g(t)PM-
JS=-O
(І =0, 1,2,...),
IkWII = II^r
Из (16) нетрудно получить, что
Stk = 0 ПРИ \i — b\>Р) кроме того, нетрудно видеть, что
IlS(A)II = g{\\ A II) HlAir + aJI ЛІГ1+... +ар/,
где степени Il A II* (jfe = 1г 2, - • -) вычисляются по обычным правилам умножения матриц, а У = !] Sifc — единичная матрица.
Введем еще одно определение. Линейный оператор U назовем вполне непрерывным, если он преобразует каждую з-ограниченную последовательность {<рп} (|<Рп1а < М, я = 1,2,---) в последовательность {Uyn}, из которой можно выделить O-сходящуюся подпоследовательность.
217. Покажем, что:
7°. Оператор g(A), -где g(x) — полином, вполне непрерывен в том и только том случае, когда
(17) Iim gik = 0.
i, ft—
Действительно, если не выполняется условие (17), то найдется такое fi > 0 и такая последовательность пар натуральных чисел:
І\> 'з> ^S < • • • >
ЧТО
(IB) Ig^fcJ > P (5=1,2,...).
Пары ?s (s = 1, 2, ...) можно, кроме того, выбрать так, чтобы выполнялись условия
<19) \is — is+1\>2p (s = 1,2,...).
Л
Рассмотрим последовательность полиномов Pis(t) (s = 1,2,...). Это о - ограниченная последовательность, ибо
