О некоторых вопросах теории моментов - Ахиезер Н.
Скачать (прямая ссылка):
(8) №)| = PZII-II* 11-
Линейный функционал Z будем называть нормальным, если у него существуют экстремальные элементы и они все отличаются друг от друга скалярным множителем.
Как мы знаем1, для каждого элемента х существует функционал fCE*, имеющий этот элемент X в качестве экстремального.
- Будем говорить, что элемент X нормален, если функцио* нал Z определяется равенством (8) с точностью до скалярного множителя.
Нетрудно видеть, что
7°. Для ТОГО, чтобы элемент X —^ZiXi^CiZi = I^j
был минимизирующим элементом задачи В, необ; ходимо идостаточн о, чтобы элемент л был экстр е: мальным элементом какого-либо произвольно выбранного минимального по норме решения системы (1) задачи А, т. е. решения системы
(9) /(Xi)=Ct (г = 1, 2,..., ге), ||/|| =\(cv.. .,сп) > 0. Действительно, пусть Zo некоторое решение .системы (9);
п
если .у CLiXi некоторый минимизирующий агрегат задачи В, і
т.е. и Из/ Il= ц^гу, то
(Ю) I = S^=ZoO)= И/оIl IlУII.
ибо HZo Il= Х-
Обратно, если у = ^a1 Xi (^aiCi = lj есть экстремальный
элемент функционала Zo, то имеют место равенства (10) и следовательно KyH= у.
п
8°. Если при любых S1 (г = 1, 2;...,п) элемент "^lZiXi і і нормален2, то система
1 См. теорему 7 предыдущей статьи.
2 Это требование можно заменить менее жестким, а именно: чтобы хотя бы один минимизирующий элемент задачи В был нормален.
Ахиеаер и Крейн—65—12
177 (11) f (xt) = Ct (/= 1, 2,...,«), И/ІІ = X (C1,..., O>0 имеет одно и только одно решение /Cf*.
Действительно, пусть у = ^aiXi некоторый ми-
нимизирующий агрегат задачи В; тогда, согласно 7°, всякое решение системы (11), имея у в качестве экстремального элемента, определяется этим самым с точностью до мультипликативной постоянной (ибо ^ — нормально). Но так как /ОО —
п
= 2 aIcJ = I, то эта постоянная определяется однозначно, і
' Аналогично из 7° вытекает, что: 5°. Если система (11) имеет, по крайней мере, одно нормальное решение, то минимизирующий элемент ^ SiJc1 [^iCfci= lj задачи В определяется однозначно. , Кроме того,
10°. Если задача В имеет два различных минимизирующих элемента, то она их имеет, по крайней мере, континуум.
п п
В самом деле, если Уі= ^aiXi и V2 = 2 a^*' есть два ми-
1 і
нимизирующих елемента задачи В, то при любом t (0 ^ t < 1) эле-
п
мент )/ = ^+(1 — t)y-l = 2 a'"*' есть также минимизирующий эле-
1
п п п
мент задачи В, ибо 2 a^ — * (2 a»c<) + 0 ~ t) 2 а"сг= 1 и ІІ.У Ii < і і і < ЧУх 11 + (1 -^llb Il= 1> а следовательно, |Ы| = Х.
Аналогичное замечание можно сделать в отношении системы (11) или (7), для случая, когда эта система имеет два линейно независимых решения /х и /2.
Заканчивая параграф, заметим1, что для того, чтобы любой функционал /СЕ* либо вовсе не имел экстремальных элементов, либо чтобы его экстремальные элементы отличались друг от друга только лишь скалярными множителями (/—нормальный функционал), необходимо и достаточно, чтобы пространство E было строго нормированным, т. е. чтобы в соотношении
II*+jMI<II*II+II:YII
знак равенства имел бы место в том и Только в том случае, когда у = Ix или х = Xy, где X > 0. Действительно, пусть
__11*1+Xt 11 =IjX1 Il + IlX2 11
1 Этим замечанием и нижеследующими соображениями автор обязан И. М. Гельфанду и В. Л. Шмульяиу.
178. и элементы X1 и X2 линейно независимы. Рассмотрим фуЪкциог нал / (X), имеющий элемент у = X1 + X2 в качестве экстремаль^ ного. Для этого функционала
(12) |/ (X1 +х2) I=1)/11 • Il X1 +X2 Il = Ц/11 • Il X1ІІ+ІІ/Ц • (I х2 Il. С другой стороны,
(13) I f(x,+x2)| < IZ(X1) +!/(X2)K II/II. ІКІІ+Ш • 11X1Ц. Сопоставляя (12) и (13), находим, что
1/(?) I=IIZIl II*. Il И |/(Х2)| = ||/|| IIx2II.
Таким образом, условие строгой нормированности пространства является необходимым условием того, чтобы у любого функционала / С Е* не было двух линейно независимых экстремальных элементов.
Это условие также достаточно, ибо если
Z(^1) = IlZII 11*И1 и /(Xa) = IiZII IlII,
то
11/11 • (II Il + Il *2 II) =Z (X1 +X2) < Il / Il Il X1 + X2II,
откуда
Il X1+*. Il- М+М-
Предлагаем читателю доказать, что последнее равенство выполняется при том и только том условии, если отрезок, соединяющий точки
e^lM и
принадлежит границе единичной сферы ||хЦ<1.
Таким образом, условие строгой нормированности простра-ства E эквивалентно тому, чтобы граница его единичной сферы не содержала отрезков.
§ 2
После приведенных общих соображений перейдем к некоторой конкретизации задач A vi В.
1. Начнем с элементарных примеров. Пусть Mm представляет
ИЗ СЄ6Я т -Мерное Пространство векторов X = (X1jX2j--MXm)1
с определением нормы
Il х|| = max |х'|.
l <i<m
Введем в рассмотрение орты
^ = (1,0,...,0)
^m= (0, 0,...,1).
1 Координаты X1 (і — 1, 2, ...,л), конечно, вещественные числа.
179. Очевидно,
т
X = 2 1
Пусть теперь f(x) некоторый линейный функционал. Тогда
Ш Ttl
/(*) = 2 *'/(*<)=* 2/'*', і і
где числа
/=/(*0 (t = 1,2, ...,от).
Таким образом, всякий линейный|функционал / с Mm* в данном случае определяется некоторым вектором (Д Р, .. .,Jm), который, очевидно, может иметь совершенно произвольные координаты. Функционал / С Afm* мы будем отождествлять с вектором (Д р,.. .,Jm) и вместо f(x) будем писать (/, х). Таким образом
