О некоторых вопросах теории моментов - Ахиезер Н.
Скачать (прямая ссылка):
что противоречит (36).
Теорема таким образом доказана.
Заканчивая, обратим внимание читателя на то обстоятельство, что вместо обыкновенных линейных нормированных пространств, мы могли бы рассматривать линейные пространства с несимметричной нормой IlлIl.
1 Равенство, стоящее в скобках, дальше не используется.
197. В таких пространствах норма ||х|| удовлетворяет уже следующим требованиям
1. Il Л Il > 0, если ХфО.
2. Ilfccll = ^IWI при t >0
3. II X+J (I k II X II-f ||у Il .
и поэтому, вообще говоря, не обладает свойством: || —х|| = || х ||. Например, в ?® такую норму мы получим, если примем
(37) Ilxll =f\x(t)\dt + efx(f)dt,
т т
где 0 — фиксированное число, подчиненное единственному ограничению — 1 <: 0 < 1.
Общие предложения § 1 легко переносятся на линейные пространства с несимметрической нормой, при этом нужно иметь в виду, что норма функционала /(х) в таком пространстве уже определяется равенством
M-Sffb
эта норма также несимметрична, т. е. вообще говоря, ||Я| ф
II -/Il-
Если норму Il X I,, определяемую равенством (37), обозначить через ||*||,, тр, очевидно,
(1-|0|)1|х||е<||х|!о< (1 +J0|)||x||e.
Следовательно, норма ||х||в топологически эквивалентна норме Il X ||0, т. е. сходимость элементов по одной из этих норм влечет за собой сходимость по другой. Поэтому при любом 0 (— 1 < 6 < 1) общий вид функционала /(х) в пространстве с определением нормы (37) попрежнему^ будет задаваться формулой:
/(X) = / x(t)o.(t)dt,
т
где a (t) некоторая, измеримая функция с ограниченным
(38) vrai max | a (t) I.
tcm
Однако, теперь норма |j/|| функционала /(х) не будет совпадать с величиной (38), а будет совпадать с наименьшим значением L, при котором почти всюду
— (1-0)1 <&(t) ^ (1 +0) і.
1 Если сравнить с определением нормы в § I статьи И, то разница состоит лишь в том, что в 2 мы требуем, чтобы <>0, в то время как раньше t могло быть произвольным вещественным числом.
198. Поэтому задача А в этом случае должна быть сформулирована так:
А. Задано наЗЯ п измеримых суммируемых функций Xi(t)\ каковы необходимые и достаточные условия для чисел с,,' сг,..., сп, L (Sc*s>0> L>0, чтобы
і
существовала и зме р и м а я фу н к ци я a (t), для которой
jxi(t)a.(t)dt = ct (t = 1, 2,..п)
и почти всюду
— ?(1-9)<а(г)<?(1+е) (—1<в<1).
, Но эта задача является не чем иным, как обобщенней Z6 -проблемы, которая трактовалась в главе 3 статьи I.
Мы предоставляем читателю сформулировать соответствующую задачу В и теоремы 1, 2, 3 для рассматриваемого случая.
Заметим также, что в случае 9)1 = < а, Ь > и непрерывных функций JCi (?) (і = 1,2,..., п) сформулированная задача А является частным случаем следующей проблемы моментов:
Каковы необходимые и достаточные условия для чисел с........ чтобы существовала непрерывная функция ограниченной вариации о(t), удовлетворяющая условиям
ъ
$Xi(t)d0{t)=a Ci (і= 1,2,..», п)
а
И уСЛОВИЮ
Aa1 < Да < Да2 (при любом At),
где функции ограниченной вариации о1(^) и aa(f) заданы под условием
До, < Aa2 при любом Д?.
Эту задачу при некоторых дополнительных предположениях относительно функций X1 {t) (i = 1,2,...,») мы уже как-то исследовали [lib]; но методы, которыми мы при этом пользовались, выходят за рамки настоящей стчатьи.
199. СТАТЬЯ V
Н. АХИЕЗЕР О ТЕОРЕМЕ S. BOCHNER A
(континуальный аналог тригонометрическо-й проблемы моментов)
1. Будем говорить, что определенная на всей оси (—оо <t< оо) комплексная функция f(t) позитивна в смысле М. Mathias'a [32] или входит в класс если f(t) непрерывна и для любого натурального т, любых
вещественных tj, tt,..., tm и любых комплексных Pv р2)..., рт удовлетворяет неравенству
т
(1) S /(*«- h) P« Pp > о.
«> P=I
Из (1) следует, что
и что
1/(01 </(0).
Будем далее говорить, что f(t) принадлежит классу если f(t) (— с» < t < оо) измерима и ограничена, удовлетворяет условию
f(~t)=*m
и для любых неотрицательных ta, для любого положительного і} и любого вещественного S:
т
2 /(*« - h)е* е~71 > о.
я, ?=l
Наконец, будем говорить, что функция f{f) (— оо < t < оо ) принадлежит классу если она измерима и ограничена, удовлетворяет условию
/(¦—*)-Ло
и для любого вещественного X и любого положительного у:
OO оо
///(«- Р) **(я_?) (*"p)rfadP > о-
о •
200. Легко видеть, что всякая функция g(t), допускающая представление
git)= J eiatdy(u),
где <р (а) — ограниченная неубывающая функция, входит в класс ^S4.
Действительно,
. т _ — я»
Ъ s(t-t,)PaPfi= / 2 P^ я
a, ?=0 — оо а=1
^if (и) > 0.
Мы покажем, что это предложение допускает обращение — факт, впервые доказанный во всей полноте S. ВосЬпег'ом [21а], Классы впервые введены в работе F. Riesz'a [36^].
2. Теорема 1
Если f(t) принадлежит классу то функция
OO
ф(2)= J elm f (и) du
о
обладает следующими двумя свойствами:
a) Ф (z) регулярна в области = у>0 и имеет положительную вещественную часть,
b) для любого у>0
|>Ф(гу)|< vratraax 1/(01-
