О некоторых вопросах теории моментов - Ахиезер Н.
Скачать (прямая ссылка):
^s1-+... S^1-Zi = [(/=1,2,,т).
При п = т формулу (20) следует заменить формулой:
т
/М,
і
•где /' (г = 1,2,..., т) определяются из системы (20х) и (20а). Для этого частного случая в предположении, что все /'ф0 (г =« 1,2,..., т) (которое, как мы видим, несущественно для формулы (19)) предложение Ic было указано Е. Ремезом1 [16].
Можно поставить вопрос: каким условиям должна удовлетворять матрица
а\ ... aU
(21) ....... ,
чтобы при любых Zi (/ = достигался при одной значений
1,2,...,т) минимакс в (19) и только одной системе
S1, ^2, . . . , ^n-I-
Ответ на этот вопрос можно непосредственно получить из найденного Нзаг'ом [28] решения одного более общего вопроса, на котором, к сожалению, за недостатком места мы не имеем возможности остановиться. Заметим только, что в силу результата Нааг'а искомое условие заключается в том, что все миноры (я—1)-го порядка матрицы (21) отличны от нуля*.
Можно также показать, что минимакс в (19) сохранит свое прежнее значение, если из линейных форм
(22) ajSi + a^+•••+^-Л-Г"'* (/=1,2,... ,т)
1 См. задачу на стр. 131 (глава VIII) цитируемой работы. В этой работе можно найти ряд других интересных свойств несовместных систем. Все они, между прочим, довольно просто Mcft-ут быть получены методом Нааг'а [28].
! Этот результат также верен, если в (19) фигурирует бесконечное число линейных форм (т — оо). Подробнее .о проблеме Нааг'а можно найти в кинге Н. Ахиезера [2Ь].
184. под знаком минимакса в (19) оставить только п определенным образом выбранных форм1.
Таким образом, решая для каждой из (JJ1) комбинаций по п форм (22) задачу на определение соответствующего минимакса, мы, выбрав из этих минимаксов наибольший, тем самым определим (конечным числом действий) точное значение минимакса (19).
4. Поменяем теперь ролями пространство Mm и Lm. Тогда задача В будет звучать следующим образом: Г. Задана матрицарангап
и чис Найти
п -я • • • • •
/г •¦••/;
л а съ Cz, ..., Cn(sci>0)'
mlnSl^/f+...+Wil--Jr
пр'и дополнительном условии относительно 5:
1
Основное предложение 2° § 1 в этом случае дает:-Га. Искомое число ^ задачи Г может быть также определено равенством
Ji = min max | Xі |
X KKm
придополнительных условиях относительно X1 (i = 1, 2,..., т)
/1*1 + /^+ ... +/"JCni=Cl
(23) .................
Z1aX1J-PnX2+ ••• +Jfxr=Cm.
В частности, если п = т, то ^= max | Xі
J<i<m
1 См. Е. Ремез [16]; там же можно найти обобщение этого факта на случай бесконечного числа форм (22). Все эти результаты довольно просто получаются по методу Наат'а, если принять во вннмаине свойства наименьшего выпуклого тела, содержащего данное множество. Во время корректуры автор познакомился с недавно появившейся статьей Л. Г. Шнирельмаиа (Изв. Акад. Наук
СССР, № 1, 1938). В этой статье выдвинут новый весьма простой н остроумный метод для установления подобного рода предложений; следует однако указать, что конкретные результаты, которые получает Л. Т. Шннрельман своим методом, были уже иным путем установлены ранее Наат'ом [28] и Ремезом [16].
185. тде числа Xі (і = 1, 2,..., т) определяются однозначно и з (23).
Аналог предложения Ib не интересен и мы его опускаем. Рассмотрим теперь несовместною систему уравнений
+ ••• +Л-Л-і = Аг (* = 1,2,...,яі;«>л).
Будем искать также S1- (i = 1, 2, ... , п— 1), чтобы величина
21/1*.+ ..-+/и*.
і=і
л—1
Ai
была возможно меньшей. Поррежнему мы можем считать, что векторы if], ... , ff) (і = 1, 2, ..., п — 1) и вектор (A1, ..., hm) линейно независимы. Для этой задачи (как частного случая задачи Г) мы можем сформулировать такой аналог предложению Ic.
Гс. Если ранг матрицы
/} .../L>
/Г • •• fn-Л"
равен п (п < /п), то
min
in 2 |/i S. + .. -+/;_Л-I-A1I-і=1 ^
где <24)
fx = min max | xl
X l < і < m
при дополнительных условиях относительно xl(i= 1,2, ... ,т)'
/}*1+...+/f О,
<24,)
и условии <24а)
/U*1 + ••• + f Z-I Xm=O
h*x1 + ... +hmxm = 1.
При п= т вектор X — (х1, х2,..., хт) определяется однозначно из (24t) и (244) и формулу (24) следует заменить более простой формулой
p. = max (X11.
1 < і < т.
Ш Заметим, что задачи I и I' не только, так сказать, взаимны, но Ьдна сводится к другой. Объясним, например, как свести задачу I к задаче Г.
В силу предложения Ia нахождение минимакса (15) сводится к нахождению минимума (16>. Но общее решение системы (16,) всегда можно представить в виде
^ = Ai-SS/ (р-т-п),
где CA1, hm) некоторое частное решение системы (16^, а
{/*>•••> fk) (^=1, 2,..., р) /7-линейно независимых решений соответствующей однородной системы.
Следовательно, минимум X из (16) можно еще так определить
т р
і i=l A=I
чем и доказано наше утверждение.
§з
В этом параграфе мы рассмотрим приложения общих положений § 1 в некоторых функциональных пространствах.
Пусть Ш — какое-либо ограниченное измеримое множество вещественной оси t(—со < t<оо). Обозначим через Ещ линейное пространство всех измеримых и суммируемых на SJi функций X (t) с определением нормы1
