О некоторых вопросах теории моментов - Ахиезер Н.
Скачать (прямая ссылка):
п
любых lQiit= 1, 2, .*.., п) (2&?>0) линейная комбинация
і
л
YiIiXt it) имеет внутри интервала < a, b > не более п— 1 нулей, і
Очевидно, что для того, чтобы функции Xf (?)"(/«= 1, 2,..., п) образовывали систему Т, необходимо и достаточно, чтобы при всех различных между собою t%, t2,...,
В силу непрерывности функций Xi{t) ii = 1, 2,..., п), последнее условие равносильно тому, что детерминант Д сохраняет один и тот же знак при а < < tt <... < tn < Ь.
А следовательно, если функции х,(^(г= 1, 2,..., п) образуют систему Т, то при любых a <ti<t2<.. .<tn<b функция
ФЩ = Сь(*х M » (СфО)
U1 t^'.-tn—l t J
194. меняет знак при переходе t через U(l =* 1, 2,..., п) и никаких других нулей, кроме ti(i = 1, 2,..., /г — 1), не имеет. Этим мы воспользуемся для доказательства следующей леммы:
Лемма
Если непрерывные функции X1 (?) С Е{а,ь){і*=\,2,...,п) образуют систему Т, то, каковы бы ни были числа tx < U <•.. < tm (m < п), лежащие внутри * (о, Ь), всегда
п
существует агрегат AtXi{t), обладающий тем
і
свойством, что при переходе через точки tt(i= 1, 2,..., то) и только эти точки агрегат меняет свой знак.
Доказательство
Пусть п — ТО =2/7+1 —число нечетное. Выберем точки T,, х2,..., Tp так, чтобы tm < -C1 < т2 <... < тр < Ь. Предполагая є > 0 настолько малым, чтот^+е <xft (k = 1,..., р) и тр + е<Ь, составим функцию
л
OJt) = Ce Д ¦ •*»*»+*¦*»•+»• • \ =ул. (s)jc.(^
Xt1-^tmZl т,+е .. .тр+е ? / jLi
і »
где Cs >0 выбрано под условием (s)= 1- Так как |At(e).|-<
г=і
<1 (г = 1, 2,..., л), то всегда можно найти такую последовательность в„—>0, что одновременно будут существовать пределы IimAk (Sn) {k = 1, 2,..., п), которые мы обозначим соот-
Л-Х»
ветственно через Au (?=1,2,...,«). Тогда последовательность функций ФЕ (t) сходится равномерно при я—»оо к функции Ф (t) =
я
= Из того, что функция Фе (?) меняет знак при пере-
ходе t через ТОЧКИ tict2<... <tm < T1 < T1 + S < Ti < . . . < Tp <
<Tp + s и только эти точки, легко заключить, что предельная функция Ф(?) меняет свой знак при переходе t через точки tl< t2<... < tm и только эти точки.
Рассмотрим теперь случай, когда п — т. = 2р — число четное. В этом случае мы выберем точки T1, т2,..., тр так, чтобы tm < Ti < < • • • < іP = Ь. Предполагая снова є > 0 настолько малым, что Tft +e<T*fi(?= 1, 2,..., р — 1), построим функцию
. п
Ф (t) = Cb Хт+2...Хп^ Хп\ у AftyXt(Qt
s W1-.. 4? ^+5...^1+6 0/ Li
195. 1
л
подбирая Cb > О так, чтобы ^Л® (s) = 1. Дальше рассуждаем
і
аналогично тому, как в предыдущем случае.
Докажем теперь теорему, в существенном принадлежащую Jackson'y [ЗІ]1.
Теорема 3
Если система непрерывных функций xt(t)C ЕіаМ (z = 1,2, ...,л) образуют систему Т, то, какова бы ни была непрерывная функция g(t) С E^a, ь), среди
л
агрегатов SiXi(t) существует один и только один і
агрегат, наименее уклоняющийся от ^?) в смысле (L).
Доказательство
л
Действительно, если агрегат ^ U1 Xi (t) совпадает с g (t) на
і
л
некотором интервале I1 С (а, Ь), а агрегат ^ bx Xi (t) совпадает с
і
g-(?) на интервале I2 С (а, Ь), то эти интервалы не налегают
п
друг на друга, ибо иначе сумма ^ (bi — ai)xt(t) имела бы бес-
1
численное множество нулей, а это для системы T невозмож-
п
но. Поэтому совокупность агрегатов ^ ZiXi (t), совпадающих с
і
g(t) на некотором подинтервале интервала (а, Ь), исчислима.
С другой стороны, если среди агрегатов у = сУЩе"
ствует несколько агрегатов, наименее уклоняющихся от g(t) в смысле (L), то их будет существовать континуум2 и следова-
п
тельно, среди них найдутся 2 различных агрегата ^ a,- X1 (t) и
і
л
2biXt(t), которые не совпадают с g(t) ни на каком подинтер-1
вале интервала (а, Ь). Тогда в силу предложения I0 этого параграфа -,
1 Jackson установил теорему для того частного случая, когда все х;(/)=/*—1 (/=1,2,...,/1); однако; его метод вместе с приведенной леммой позволяет доказать теорему в самом общем случае. Наше доказательство несколько отлично от его и, как нам кажется, проще, s См. предложение IO0 § 1.
196 п п
(34) sign(gtf) - ? *f (0 ) = sign (g(t) - Щ b(O) • кроме того, полагая"
(35) a (O=X sign (g(0 - 2 а( xi (t) ) ,
где
1 ЛІ
X= min I \g(t)-^lZiXiit) dt,
E ; I 1
мы будем иметь
ь b
(36) /«(*)*(<) Л-0 (/ = 1, 2,...,«) и (/ a(?)g(0 dt = l). 1
а а
ч,
В тех точках, где а (0 претерпевает разрыв (меняет знак), g—^aiXl = g—^biXi = 0 в силу (34) и (35), и, следовательно, в этих точках ^afXi = ^biXi. Таким образом, мы придем к противоречию с тем, что функции 1, 2,..., п) образуют
систему Т, если покажем, что число точек разрыва а (0 больше п—1. Допустим, что их /п<л—1; обозначим их через th • •.. и составим согласно предшествовавшей лемме функцию
і
обладающую тем свойством, что при переходе t через точки tx, t2>..., tm и только эти точки она меняет свой знак. Тогда
nb b
% A1 fx, (<) а (0 dt - /ф (0 а (*) dt^ О,
la а
