О некоторых вопросах теории моментов - Ахиезер Н.
Скачать (прямая ссылка):
11) —и<х Си
является ограниченным.
Теорема 4
Если К острый конус, то всякий линейный функционал / <х), определенный в Е, допускает разложение
/(X)=Zf1(X)-Z2(X) (хСЕ),
где f і (х) и J2 (х) линейные позитивные функционалы, удовлетворяющие условию
(12) ' НЛН + ШКС п/п,
«
в котором С — некоторая константа, не зависящая отфункционала/.
Доказательство
Пусть и элемент из к, для которого множество H (и) ограничено. Положим
(13) Ke suP WxW-
^loI хсИ(и)
Образуем теперь новое линейное пространство E^. Элементом этого пространства будем считать всякую упорядоченную пару Z «= (х, у), где л: и у любые • элементы из Е, причем про-
158. изведение элемента Z = (х, у) на скаляр X определим равенством
XZ = (\х, 1-у),
а сумму двух элементов Z1 = (X1, _у,) и Z2 = (х2, у2) равенством Z1 + Z2 = (X1 + J1 + у2). В качестве нормы Z возьмем, например, величину
1|2|| = 1И + Ы|.
Че^ез /С(2) обозначим совокупность тех Z = (х, у), для которых X > 9 и у > 9. Легко видеть, что K^ является некоторым конусом в пространстве Ef-2K Отправляясь от конуса KSt], введем в пространстве EW понятие о неравенствах между элементами Z и понятие о позитивных функционалах F(Z).
Обозначим через Q линейное подпространство (О С E^), составленное из всевозможных элементов Z вида
Z = X + W,
где U = (и,— и), X — произвольный вещественный скаляр, а X— произвольная пара (х, — х), где хСЕ.
Пусть теперь f(x) произвольный линейный функционал, определенный во всем Е. Отнесем ему функционал F(Z), определенный в О равенством
F(Z)^f(x) + l-\\f\\.
Легко видеть, что функционал F(Z) аддитивен в О; покажем, что он также позитивен. Действительно, если Z = X + + IU >9, то по определению это означает, что
(14) х + \и > S и —х + 1и>Ь.
Складывая эти неравенства и принимая во внимание, что и >9, мы найдем, что X > 0. Интересен .только тот случай, когда X > 0, ибо при X = O из (14) вытекает, что х = 9.
При X > 0 неравенства (14) можно так переписать
— ы < — < ы,
откуда элемент -у- принадлежит множеству Н(и) и, следовательно,. по определению (13) константы f
.^IZWI = 1/(-г)1< 11/11-I1 -Ь'Кч llJri1-
Откуда
F(Z) = f(x) + M\\f\\'>0.
Так как элемент U = (— и, и) положителен (U лежит внутри Km), то к позитивному функционалу F(Z) приложима теорема 1.
159 Таким образом, существует позитивный функционал Ф (Z), определенный во всем Зг> и такой, что
Q(Z) = F(Z) при ZCG.
Если X = (х, — х), то
X=X'-X',
где
X' = (х, в), X' = (6, х).
Следовательно,
/(X) = F(X) = F(X) - F(X') = Л (х) -Л (*),
где
Z1(X) = F(X1)t U(X) = F(X").
Так как F(Z) позитивный функционал, то и аддитивные функционалы ft (х) и /2 (х) являются позитивными функционалами.
Для доказательсіва теоремы осталось показать, что при указанном способе разложения существует константа С (не зависящая от функционала /), для которой выполняется неравенство (12).
Для этого заметим сперва, что из соотношения
(я, и)-(и, в)+ (в, и)
следует равенство
(15) Ч Ц/11 = F{U) ^f1(U)+Ми).
при этом, так как и>б, то fi'u)> 0 и /2(«)>0.
Кроме того, конус К должен содержать некоторую сферу S(и, р), т. е.
(16) и + ре > 6, если Il е Il = 1.
Откуда, в силу позитивности, функционалов Mx) — 1, 2)
/. (и) ± Pfi (е) > Є или Ifl (е)\ < -i- ft (и) (i = l, 2),
Иначе говоря,
ІІ/іІІ <-у-/і(и) (І= 1,2).
Сопоставляя это неравенство с (15), мы находим, что
<17) ІІЛІІ 4- II/,Il C-J-11/11 .
Замечание
Если сфера S(и, р) содержится в К, то из (16) следует, что множество Н(и), определяемое неравенствами, содержит сферу .5(9. р)- В некоторых случаях, выбирая соответствующее и и беря максимальное возможное р, можно достичь того, чтобы
160. множество H (и) совпало со сферой S(9, р). В этом случае константа Tf совпадает с р, и, следовательно, неравенство (17) переходит в следующее
ИЛИ -Hl/all <11/11-Так как, с другой стороны, всегда
11/11-ІІЛ+/.І::« ИЛИ+ ИЛИ,
то в этом случае имеет место равенство
ИЛИ + ИЛИ -11/11.
В дальнейшем мы покажем, что конус К является тогда и только тогда острым, когда линейные функционалы f(x), определенные во всем Е, допускают разложение, указанное в теореме 4.
§2
І. Через Ta, где а СЕ, будем обозначать трансляцию, соответствующую элементу а, т. е. операцию, относящую каждому элементу X С E элемент
Тах = х + а.
Очевидно, что
1. TaTbX = TbTaX = х + a + b (хСЕ).
2. Тах— Taу - х—у.
Следуя Mazur'y [33], мы множество FCE будем называть линейным многообразием, если оно может быть получено с помощью некоторой трансляции Ta из некоторой линейной системы GCE(F=TaG). Очевидно, что, транслируя как-либо линейное многообразие, мы снова получим линейное многообразие.
Обозначим через Е* совокупность всех линейных функционалов f(x), определенных во всем Е.
Множество HCE называется гиперплоскостью, если его уравнение можно представить в виде
(18) /(*) = *,
где / С E*, а с — некоторое вещественное число. Параллельно с гиперплоскостью H рассмотрим гиперплоскость H0, уравнение которой
