О некоторых вопросах теории моментов - Ахиезер Н.
Скачать (прямая ссылка):
167. Теорема IO1
Для определенного выше пространства R каждый линейный функционал fCR* допускает.раз-лож е н и е
f(x) -Z1(X) -/,(*) (XCR)t
TAeZlC*) и fu(x) позитивные функционалы, причем
ІІ/ІНІЛІІ+ІІЛІІ-
Доказательство
Обозначим через Mq пространство всех возможных ограниченных функций X іq) (q С Q) с тем же определением нормы (28).
Заданный в R функционал f(x) расширим с сохранением нормы на все пространство AIq. Расширенный функционал, чтобы не усложнять обозначений, обозначим той же буквой /. Обозначим, кроме того, через К совокупносгь всех неотрицательных функций X (q) С Mq. Легко видеть, что К есть некоторый конус в пространстве R.
Более того, если мы рассмотрим функцию u(q) = 1 (qCQ), то множество H(U) (см. (11) § 1) будет состоять из функций, удовлетворяющих неравенству
—1<*(|7)< 1,
и следовательно, совпадает с единичной сферой ||х|К1. Поэтому из теоремы 4 и сделанного к ней замечания вытекает существование разложения
(29) /(*)-/,(*)-/»(*) ix С MQ), где Z1 и Za позитивные в Mq функционалы И В Mq
ІІ/ІІ-Ш+ІІ/.ІІ-
Так как RCMq, то
(30) IiZik= и/и > її/і и*+ иZaii*; с другой стороны, из (27) вытекает, что
(31) ^ iiZii* <и /і и* + п/п*.
Сопоставляя (30) и (31), мы убеждаемся, что в этих неравенствах возможен только лишь знак равенства. Теорема доказана.
2. В общем случае пространства R позитивные функционалы, а с ними н вообще линейные функционалы fCR*, можно представить аналитически в виде некоторого интеграла Frechet. Мы ограничимся рассмотрением лишь того элементарного случая, когда Q есть замкнутый интервал (a, b), a R==Cia, Ь) есть со-
1 В несколько более узком виде, эту теорему можно найти в книге Banach'а [20] (стр. 217—219). Banach доказывает ее специальными рассуждениями, в то время как у нас теорема 10 является частным случаем теоремы 4.
168. вокупность непрерывных в (а, Ь) функций у (t) (теперь вместо X (q) удобней писать <р(?), где а-<?< Ь).
Как мы знаем из теоремы 1 § 1 статьи II всякий позитивный функционал /(9), определенный в С (а, Ь), допускает представление
ь
(32) f(4)-f<t(t)do(t),
а
где a(t)— некоторая неубывающая функция. Очевидно, что
11/11 = а(Ь) -а(а).
Применяя теорему 9, мы получим теорему Riesz'a, гласящую, что любой линейный функционал /(<р), определенный в С(а, Ь), допускает представление
ь ь
/(ер) = /*(*)<*<>! (t)-fv(t) d°a(0,
а а
где O1 (t) и (t) неубывающие функции и при этом
Il / Il = O1 (Ь) — O1 (а) + аг (Ь) — O2 (а).
Можно также непосредственно с помощью теоремы Hahn'a доказать, что формулой (32), где a (t) уже некоторая функция ограниченной вариации, исчерпываются все линейные функционалы в С (a, b) и при этом всегда
11/11= var о (*).
a <t
Любопытно отметить, что в случае Е = С(а, Ь) теоремы 1, 3 настоящей статьи переходят н теоремы 1, 2 статьи II.
Заметим, что также те геометрические соображения относительно наименьших выпуклых тел, которыми мы пользовались при втором доказательстве теоремы 1 (статья II),] допускают обобщение на случай любых линейных нормированных полных пространств. Отсылая за доказательствами к соответствующей статье автора [11а], расскажем в чем состоит суть этого обобщения.
Линейное нормированное пространство E называется полным, если всякая последовательность {хп} Q Е, удовлетворяющая условию
ll^m — Xn Il ->0 при т, П-+О0,
имеет некоторый предел.
Пусть Е — полное линейное нормированное пространство. Еслн каждому значению t из интервала <а, Ь> отнесен некоторый элемент х% С Е, то мы будем говорить, чю в E задана кривая L с уравнением: х = xt(a^.t*Cb). Эту кривую назовем слабо непрерывной, если для любого /С ?* функция /(JCi) есть непрерывная функция от t. Если кривая L слабо непрерывна, то какова бы-ин была функция off) ограниченной вариации, ей всегда отвечает один и только один элемент у С E такой, что
ь
(33) / (у)=ff (xt) da (t).
a
169. Для этого элемента мы пишем1
ь
(34) V = Jxt da (і).
а
Оказывается, что совокупность всех у QE, допускающих представление (34), в котором a(t) неубывающая функция и a (b)—a(a) = l, совпадает с наименьшим замкнутым выпуклым телом, содержащим кривую L.
Без труда доказывается следующий аналог теоремы 1 статьи II.'
Теорема
Пусть слабо непрерывная кривая L обладает тем свойством, что, по крайней мере, для одного линейного функционала /о С Е* функция
Мм) > 0 (а<<<6).
Тогда для того, чтобы элементу допускал представление (34), в котором з (I) — неубывающая функция, необходимо и достаточно, чтобы неравенство
/(Xf)>0 (a<*<b)
влекло за собой н еравенство
/СУ)> 0,
каков бы ни был функционал fQE*.
Докажем эту теорему. Необходимость следует из (33). Докажем достаточность.
Обозначим через G линейную совокупность непрерывных функций ч> {t)(a <! <*<&), допускающих представление <р(0 =J(Xt) (fQE*). Определим на этом ансамбле функционал Ф (<?), полагая
Ф (?) - /СУ), если 9 (0 = /(xt).
В силу условия теоремы, функционал Ф(<?) позитивен (по терминологии статьи II — ненегативеи), и так как G содержит положительную функцию/0(xt), то к нему применима теорема 1 статьи II. Таким образом, ему отвечает некоторая неубывающая функция a (t) такая, что у
