О некоторых вопросах теории моментов - Ахиезер Н.
Скачать (прямая ссылка):
(50) І h(a., Zk)^
J.
были неотрицательны при любых Oy С (/=1,2, •••«), при этом числа А (а, ?) (а, ? С SW) определяются равенствами:
а, ?) =
w, — w0
при а
Xa — Xp
w' г, а = р.
Действительно, полагая
мы определим некоторый функционал $ на множестве E =
— I t — z* ' (t — z Y } ^oc ^ ^3 того» что всякая неотрицательная комбинация
1 jK1
допускает представление
sa) ) (^v
_ ««
Л ft=i
следует, что неотрицательность форм (50), является необходимым и достаточным условием позитивности функционала
148. Легко видеть, что функции
так же как раньше подчинены E и поэтому, если $ позитивный функционал, то мы можем доопределить величины $ (0.,)(* = 0,1) так, чтобы функционал оставался позитивным в ансамбле E1 — = •?¦+{ <о0, (C1). В разложении
а
— нормальная функция в E1, ибо
Iim —ттг = 0 и Iim —тrr — О
(О OO (0 % (О
при
В разложении
77=^ = ^)+/.(9. функция полунормальна, ибо
і. о т- ,
Iim —^r= 0, Iim —— = + 00.
Поэтому по теореме 6 существует неубывающая функция a (jf) (— оо<*<оо) и константы а0 > 0, at^0 такие, что
(51)
OO —OO
OO
Следовательно, N-функция F(z), определяемая равенством (45), удовлетворяет условиям (49). Обратно, если N-функция F(z) удовлетворяет условиям (49), а следовательно, имеют место соотношения (51), то, рассуждая подобно тому, как при доказательстве предложения А, мы без труда докажем, что функционал $ позитивен, а следовательно, формы (51) неотрицательны.
Предложение С доказано.
Заметим, что если хотя бы одна из форм (50) является сингулярной ранга г, то F(z) будет рациональной функцией того же характера, что и в соответствующем случае предложения В.
149. Любопытно также отметить, что если точек х конечное
• ' о.
число (9JI — конечное множество) и, кроме того, форма ¦ (50), содержащая все хв — положительно определенная форма, то N- функцию F(Z) можно определить бесчисленным множеством способов так, чтобы в (49) был бы только знак = \ Это можно получить таким же приемом, каким мы в теореме 7 избавились от константы M > 0, вводя в рассмотрение интервал получаемый из бесконечной оси выбрасыванием всех окрестностей (^-8,^ + 8).
Заканчивая статью, заметим, что применения наших теорем в теории N-функций не ограничиваются предложениями А, В, С. При желании можно было бы на основе развитых в этой статье методов дать совершенно новое решение ряду вопросов, разбираемых Nevanlinna [34 Ь].
1 Это утверждение, равно как и предложение В, могут быть доказаны чисто алгебраически; см. по этому поводу Котелянскнй [8]. СТАТЬЯ III
Лі. KPEfiH
О ПОЗИТИВНЫХ ФУНКЦИОНАЛАХ В ЛИНЕЙНЫХ НОРМИРОВАННЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
В любом линейном нормированном пространстве можно весьма просто установить понятие о неравенствах между элементами. Это в свою очередь позволяет ввести в таких пространствах понятие о позитивных функционалах. Оказывается, и здесь имеют место теоремы о расширении позитивных функционалов. Эти теоремы можно рассматривать, как обобщения некоторых из результатов § 1 предыдущей статьи. Но они также представляют самостоятельный интерес и могут быть
использованы в различных целях1.
§ »
1. Совокупность 5 некоторых элементов х, у, z,... называется линейной системой, если, не выходя из этой совокупности, над элементами этой системы можно производить оснорные линейные операции—сложение элементов и умножение элемента на скаляр — и эти операции подчиняются обычным правилам алгебры. О скалярах мы будем всегда предполагать, что они произвольные вещественные числа. Линейная система R называется линейным нормированным (по Banach'у) пространством, если каждому элементу (мы будем говорить— вектору) X С E отнесено вещественное число И-«Il так, что выполняются следующие требования:
1. Il Xjl > 0, если хфO*,
2. Il Xx (I =| XI Il л II (I — произвольный скаляр)3,
3. || je -t у Il С II X |Ц-||у Il (аксиома треугольника).
В линейных нормированных пространствах обычно устанавливают еще следующие понятия:
Под сферой S (х0, р) с центром в точке х0 радиуса р понимают совокупность всех элементов х, удовлетворяющих неравенству
IlX-Де Il < р.
Всякая сфера S (х0, р) называется окрестностью точки
1 Настоящая статья представляет нз себя перевод с некоторыми изменениями н дополнениями статьи автора [lib]. В ином духе обшнрные исследования, связанные с понятием о неравенствах в линейных нормированных пространствах, провел Л. В. Канторович [6Ь]. г в — нуль линейной системы 5.
8 Из требований 2 и 1 вытекает, что || 9 || = || 0. х || = 0 || х || =» 0.
151. X0 радиуса р. Понятие об окрестности позволяет ввести понятие о пределе последовательности ізлементов {*„} понятие о внутренней, граничной и внешней точке множества GCEk другие аналогичные понятия. Так же, как обычно определяются ограниченные и неограниченные множества.
Если некоторая операция f(x) относит каждому элементу X С G (G С Е) некоторое вещественное число, то мы говорим, что в О определен (или задан) функционал f (х). Если из того, что
