О некоторых вопросах теории моментов - Ахиезер Н.
Скачать (прямая ссылка):
/ф V)do(t),
і
то интеграл
*
/? it) do[t) і
также существует и теорема, таким образом, доказана. Отметим следующее следствие теорем 1, 4, 5.
Теорема 6
Пусть вещественные функци'и Uk{t){k =0,1,... п) определены и непрерывны на бесконечном замкнутом интервале / и пусть
un(t) > О, Ilm "-fc^ - 0, (k = 0, 1,... п - 1, t с /).
1 /|->оо llIlKt)
Для того, чтобы последовательности чисел (с* V1
* ^ J О-
отвечала неубывающая функция o(t)(tC /) и неотрицательная константа Л1 так, что
(37)
Ck = /«й (t)]da (t) (k = 0, 1,.. . п — 1->
сп - Jan {t) do (1) +М,
необходимо и достаточно, чтобы последовательность {ck\n была ненегативна по отношению к по-
kjO
следователь но с ти (Ms(^))0". Доказательство
Необходимость указанного условия следует из того, что неравенство
я
2 Л* Uk [t)> О о
влечет за собой неравенство
Yl A1 Ulr (t) ' о
а следовательно, в силу (37), неравенство
л л
% AkCk = /(? Akuk(t)da(t) + MAn>0.
о J о
Обратно, если последовательность {?&}"ненегативна, то функционал определяемый на ?={ ик (t)}? равенствами
= '(ft-0, 1, ... п),
позитивен в Е. Так как функции uk(t) (? = 0, 1, ... п—1) нормальны в Е, а «„(?)> О (t Q /), то существование представле-. ния (37) следует из теоремы 4.
Из доказанной теоремы следует теорема Fischer'a (теорема 5, гл. 1, статья I), если положить uk(t) = tk (?=0,1, ...,2т—2), /=(—оо, оо) предложение служит интересным дополнением к теореме 6.
Теорема І
Пусть вещественные функции vk(t) (? = 0,\,---п — 1) определены и непрерывны на бесконечном замкнутом интервале/.
Если последовательность 1?}"-1 позитивна в /
(относительно последовательности функций {иА (?)}?-), то при достаточном большом N последовательность (?}"-1 позитивна также в In, где Zn — пересечение интервала 1. с интервалом (— N, А/1. Поэтому, если существует, по крайней мере, одна положительная линейная комбина-
п—1
цим У1Акик(і)>0 при til, то позитивная в / после-
о
довательность (?}"-1 допускает представление
ск= fuk(t)da(t) (? = 0, 1, ...и—1),
где з(t С Zn) некоторая неубывающая функция.
141. Доказательство
Допуская гпротивное тому, что мы желаем доказать, мы сможем построить последовательность чисел
Ni < N2 < Na < ••. Nm-^oo и последовательность полиномов
= Ak uk(t)
о
таких, что
/*»>(*)> О (ифО) при t С I^m, в то время как
(38) $(/*"•>)«<> (т= 1,2, —).
Не нарушая общности, мы можем считать, что функции uk(t) (? = 0, 1,---/1) линейно независимы в / (иначе мы зависимые функции выкинули бы из рассмотрения), а также, что
2ИГЧ-1 (« = 1,2,-..).
ft=0
Мы можем, следовательно, выбрать подпоследовательность ?j < ?2 < ?3 < ••• так, что
Iim Af** = А. .
Ш->OO
Таким образом, мы прийдем к полиному
P it) = ^AkUk it),
о
который, очевидно, неотрицателен на / и не равен тождественно нулю, посколько
SIaH-I.
о
Следовательно, должно быть
W> О,
в то время как из (38) следует, что
. W(P) ^O.
Мы пришли к противоречию. Первое утверждение теоремы доказано. Второе непосредственно следует из первого в силу теоремы 2.
142 § 5
1. В этом параграфе мы приведем некоторые применения: теорем 4, 5 в теории N-функций1 (см. главу 2 статьи I). Эти применения мы построим на следующем замечании, непосредственно вытекающем из теорем 4, 5.
Пусть ансамбль E содержит «+1 функций о>0(?), (O1^)t ••¦ шп(t) таких, что каждая функция <р С E допускает представление
(39) ,
. о
где Ck(^f) (к —0,1,---/1) некоторые комплексные числа, а<р*(?) нормальная или полунормальная функция;; пусть, кроме того, функция ш0(0 непрерывна и полунормальна (например, неотрицательна).
При этих условиях всякому ненегативному в. ? ф у н к ц и о на л у $ отвечает система ч^исел а0 > О, а„ • • • ап и неубывающая функция a(t) так, что
(40) ^(<р) = І>(фН/{*(*)—2 с* (ї) МО }d*(t)
Oil
ИЛИ
л л
(41) $ (?) > ? а* с* (<Р) + / ( ? W — 2 Ck ((f) Ш* (t) } do (t),
Oil
в зависимости от того, нормальна или полуно р-мальна функция у* (t)1.
Действительно, согласно теоремам 4, 5 существуют неубывающая функция o(f) (t С I) и константа а0> 0 такие, что
^W = / %(t)do(t) + a0 І
(42) *)=fr(t)do(t),
і
если только функция (р* (?) нормальна. Но тогда из (39)
'$(*) = 2с*(<р)$Ы+$ I ^o OPK (*)+*•(*)} «
і
л
- 2 ак Ck (tp) ¦+ J { C0 (?) O0 (*) + <р* (t) } do {t),
1 В отличие от главы 2 статьи I мы понимаем здесь под N- функцией всякую регулярную внутри верхней полуплоскости функцию F (z), имеющую там неотрицательную мнвмую часть.
* При формулировке этого предложения мы ие стремились к возможно-большей общности, а имели лишь в виду дальнейшие приложения.
14$ -¦где
(fe = 0,1, •••№).
'Так как
/о (?) tuO <t)+¦г (і) = ? (t) - і Ck (<р) COfc (t),
1
то равенство (40) доказано.
Если функция * (t) полунормальна, то в (42) придется заменить знак = , на знак > и поставить при интеграле звездочку. Рассуждая затем аналогично прежнему, мы придем к неравенству (41). Таким образом, наше замечание доказано.
