Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Ахиезер Н. -> "О некоторых вопросах теории моментов" -> 35

О некоторых вопросах теории моментов - Ахиезер Н.

Ахиезер Н., Крейн М. О некоторых вопросах теории моментов — Х.: АНТВУ, 1938. — 257 c.
Скачать (прямая ссылка): onekotorihvoprosahteoriimomentov1938.djvu
Предыдущая << 1 .. 29 30 31 32 33 34 < 35 > 36 37 38 39 40 41 .. 69 >> Следующая


(№ V /m V

1 См. статью 1, гл. 1, теорему 1.

136. где ? и rj вещественные числа, а значит, последовательность неотрицательна в интервале (0, со) тогда и только тогда,

когда формы (28) неотрицательны.

Ь) Пусть Ra, ь означает множество всех рациональных чисел, лежащих внутри конечного или бесконечного интервала (a, b). Пусть Е={ех'}(—со<?<со), где Л пробегает множество Ra, Ъ-Ансамбль E состоит только лишь из нормальных функцйй. Действительно, если <р (t) = ех°', где ха С Ra, ь, то, выбравши в Ra, ь числа х' < X0 и х" х0, мы сможем положить

,(t) = ex'l + ex"l (— оо<*<со).

(О,

Таким образом, по теореме 4 каждому позитивному функционалу $ в E отвечает неубывающая функция о (t)(—оо <?<оо) такая, что

оэ

f(x) = Щ (е*1) = /е*Ші). (х С Ra, ь).

- OO

Выясним теперь, каковой должна быть функция fix), чтобы функционал $ был ненегативен в Е. Условие ненегативности Ф заключается в данном случае в том, что из неравенства

п

(29) VW = YtCbejl*' >0 при — оо <?< оо

і

(XkQRa.b\k=l,2,,.. п)

должно следовать неравенство

1

Предполагая Jtl < X2 <... < хп, приведем рациональные числа XkK" общему знаменателю; пусть

где N и tnk(k=l,2,...n) целые числа. Положим

и = е^\

тогда неравенство (29) можно будет записать в следующем виде

я

<Р(t) = P(и) = Yc* ат*> 0 при О < ц <оо, 1

или в виде

п

P1 (й) = И-т'P(U) = Yi0k ить-т1> О при 0 < и < OO.

1

138. Но неотрицательный в интервале (0, оо) полином P1(U) допускает представление

Л И =-(2?"*) + и (Ііч*«* Ї= 2 +

\ О ' \ 0 ' ), *=0

следовательно,

¦Р /+? т т,, f

<р(0= 2е " M*+2* Л'

Л ft =O /, й=о

Отсюда неравенство (29) эквивалентно следующему

<зо) ад - 2 /(itT^)M + 2 f(I±A^ri±1-)w>o.

j, ft=0 Л A=O

С другой стороны, последнее неравенство выполняется, если

при любых XfCRatbUssiI2----п) таких, ЧТО Xj+ Xk С Ra,b(j,k=

= 1, 2,...п) форма

так как каждую из форм, фигурирующих в (30), можно представить в виде некоторой формы Ф. Таким образом условие {31) является достаточным, чтобы функционал ф был ненегативен. Так как

то оно является также необходимым. Мы пришли к предложению:

Для того, чтобы функция f(x) определенная в Rtttb, допускала там представление

OO

<32) /(*)= jextda (t),

' - OO

где o(f)(—со<?<со) некоторая неубывающая функция, необходимо и достаточно, чтобы при любых XjCRa, й(у' = 1, 2,... п) таких, что a <xj + xk < b(j, k = l, 2,...я) форма

(33) 2 f(xj + xk)^k

і, ft—1

была неотрицательна.

Из этого предложения немедленно следует теорема Wldder'a, [42] гласящая, что функция f(x), определенная внутри интервала (а, Ь), допускает там представление (32) тогда и только тогда,

138

когда она непрерывна и при любых Xj(j = 1, 2,...л), лежащих вместе с Xj + XkiJ, k=l,2,...п) внутри (а, Ь), формы (33) неотрицательны.

§ 4

Кроме нормальных функций, представляется еще целесообразным рассматривать полунормальные функции, которые определим следующим образом.

Функцию <f(t)CE будем называть полунормальной, если она удовлетворяет условию 1° (см. стр. 133) и если ей соответствует, по крайней мере, одна неотрицательная с конечным числом точек разрыва функция Wlf (i) С Jb1, для которой [вместо (16) и (17)] имеют место соотношения

(33) 11т!п(Ж>0 U = I, 2,...т)

4 ' і-ну «>,,(*) '

и

(34) Ilminf -1? >0. (К/).

х|-> oo 0vrj ^

Очевидно, что всякая неотрицательная функция <р (t) С Я, имеющая конечное число точек разрыва, полунормальна (для нее <о9 можно взять равным <р(?)).

Теорема 5

Функция о(t), построенная при доказательстве теоремы 4, обладает еще тем свойством,-что для

любой полунормальной функции <р(?)СZ?

*

(35) $(<?)> f<!(t)d°(t).

і

Доказательство

Так же, как при доказательстве теоремы 4 мы можем предполагать, что интервал I бесконечен, а полунормальная функция tp(zf) непрерывна в /.

В силу (34) мы будем иметь для любого s>0 неравенство

— sw9(t)<4(t) при К/, |*|>№,

где Nt > О число, зависящее от е. Сопоставляя его с соотношением (22), мы легко убедимся в том, что все последовавшие за (22) рассуждения останутся и теперь в силе, если мы в соотношениях (23), (24), (25) и (26) сохраним только лишь левые неравенства. Следовательно,

(36) /<р W do (*)<$(?)+«$ К).

Я

1 Условие, что функция (t) имеет конечное число точек разрыва, вероятно, является лишним (при определении нормальных функций оно не фигурировало), во мы не знаем, как от него избавиться.

139. Отсюда

\(t)do (?) «$(?)»

и

если интеграл, стоящий в левой части, существует. Если <р (О > О, то этот интеграл, в силу (36), наверно существует. Таким образом, мы можем считать (35) доказанным для неотрицательных полунормальных функций (звездочка при интеграле появляется, если <р (t) имеет разрывы в /). В частности, существует интеграл

J'(I)t (t) do (*)<$ К). 1

Так .как, кроме того, при определенном выборе точек а, ? С / (я < ?) и числа M > 0 функция

ф [t) = ? (t) + ш, (t) + M [5Р (t) - S. (f)] it С />

неотрицательна, а следовательно, существует интеграл
Предыдущая << 1 .. 29 30 31 32 33 34 < 35 > 36 37 38 39 40 41 .. 69 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed