О некоторых вопросах теории моментов - Ахиезер Н.
Скачать (прямая ссылка):
f<?(t)da(t).
Звездочку мы будем отбрасывать, если в каждой точке разрыва а функции <pit) выполняется одно из двух условий: либо в(а + 0) —о а —0) = 0, либо liminf |<f(?)| = 0. Об интеграле i_>a
f?(t)d°(t)
можно говорить как о несобственном интеграле.
Для сокращения письма введем еще следующий термин. Функцию m(t)(tCI) будем называть Р-положительной, если во всякой замкнутой конечной части интервала точная
133 нижняя граница значений (o(t) больше нуля. Очевидно, что усякая положительная непрерывная функция в I Р-положительна.
Развивая слегка метод, которым мы доказали теорему 1, установим сейчас более общее предложение:
Теорема 4
\__
Если ансамбль E содержит, по крайней м е]р е, одну Р-положительную функцию ш0 (?), то всякому ненегативному функционалу $(<р) в E соответствует, по крайней мере, одна неубывающая функция <j(t)(tQI) такая, что для любой нормальной функции ? С E
(19) $ (*)-/?<#*>(*).
/
Доказательство
Так же, как и при доказательстве второй части теоремы 1, выберем произвольную точку а внутри /, определим функцию Sx (О равенствами (8), (9), образуем плотную в / последовательность {tk содержащую в себе конец / (если таковой имеется), доопределим с сохранением позитивности функционал ^ на множестве и построим неубывающую функцию о(?) (t СI)
по формулам (10), (10').
Покажем, что полученная таким образом функция о (t) удовлетворяет условию (19).
Прежде всего заметим, что функция о(?) обладает следующим свойством. Пусть X некоторая точка интервала / и пусть
Sm«
хотя бы для одной [неотрицательной функции 0)(f) С E выполняется условие:
(20) Ilm о» (t) = оо, тогда
o(A: + 0) — <J(X —0) = 0.
Действительно, если имеет место (20), то для любого є>0 можно будет выбрать точки t', t"(L{tk} так, чтобы
t'<x< t", Z' t.(t)-Zv (t) <ЄШ(t);
но тогда
-о (іt') = $ (Zr) - % (Zf) < ^ (ш),
что и доказывает наше утверждение.
Из него, в частности, вытекает что если <g(?) нормальная функция, а а ее точка разрыва и при этом
(21) lim inf i<p (?)| > 0,
t
TO
о(а + 0) — а(а — 0) = 0;
134. действительно, в этом случае, согласно (16), Iim(?) = то.
Так как вещественная и мнимая часть всякой нормальной функции тоже нормальны в Е, то для доказательства (19) достаточно рассмотреть тот случай, когда <р (t) С Е. Кроме того, так как точки +то (в случае бесконечного интервала I) играют такую же роль, что и особые точки at(i=\,2,.. .т)\ то мы будем вести доказательство в предположении, что tf(t) непрерывно в интервале /, который примем бесконечным.
Итак, пусть непрерывная в бесконечном интервале I функция y(t) С E нормальна. В силу нормальности этой функции соответствует в E некоторая неотрицательная функция (/) С E такая, что для любого е > О
(22) — Еш,,, (ї?) < ср (^) < s«»,, (^) при ^C/,
где Nt- положительное число, зависящее от є. t
Обозначим через In какой-либо конечный интервал с концами из последовательности {tkсодержащий в себе пересечение интервала / с интервалом <—Ntf N, >. Каково бы ни было е'>0, мы можем выбрать в интервале Zjvs =< <*, ?> точки а = Si < sa <... < Sa = ?, принадлежащее последовательности {4 так, чтобы
л—1
(23) - «ч(*) < <? (*) - 2 * (s*) [ Kk+t (<) -
—Ijk (*)]<«'м« при tuNe.
Тогда в силу (22) при любом tCI
л—J
— W - єЧ (t) < <Р (t) - <Р (s*) ?sk+1 (t) - Zsk (f)] < ««>, (t)+,' „о(*).
1
Следовательно, в силу ненегативности функционала
(24) - гЩ К) - ^ Ы < $ (?) - (?+!) -
і
Переходя здесь к пределу, когда max (sjt+i — sk) —»0, получим
(25) - К) _ (ш0) < $ (,) -
-J ? (0 do (t) < $ К ) + Ы-
Ч
1 Если не считать, что для особых точек а приходится дополнительно выяснять, что неравенство (21) влечет равенство о (а -f 0)— о (в — 0) — 0, что мы уже проделали.
135. Так как е' произвольная положительная величина, то отсюда (26)
что и доказывает равенство (19). Приложения теоремы 4
а) Пусть E = {tk}™ (tCI), где I бесконечный или полубес-конечный интервал. Так как
tk
lim —гт =0 при k<2m,
Ifl OO t
то все члены последовательности E суть нормальные функции. Поэтому по теореме 4 для того, чтобы вещественная последовательность чисел допускала представление
(27) sb=jtkda(f)
і
(к = 0, 1,2,...),
необходимо и достаточно, чтобы последовательность (ss)00
о
была ненегативна в интервале /.
Беря I = (—СО, со), мы приходим к критерию разрешимости проблемы (27), данному Hamburger'ом. Действительно, как было показано ранее1, последовательность ненегативна в ин-
тервале ( — со, со) тогда и только тогда, когда квадратичная форма
п
і, І=о
неотрицательна при любом я = О, 1,2,...
Беря /=(0, оо), мы придем к критерию разрешимости соответствующей проблемы (27), указанному Stieltjes'ом и заключающемуся в том, что обе формы
(28) ? si+M, 5 si+j
І, /=0 і, /=0
неотрицательны при любом я = 0, 1,2,... Чтобы получить последнее, достаточно заметить, что если некоторый полином
P(t) = YAkt>
о
неотрицателен при 0<?<оо, то он допускает представление
