О некоторых вопросах теории моментов - Ахиезер Н.
Скачать (прямая ссылка):
2. Пусть элементам а некоторого конечного, счетного или несчетного множества ЗК поставлены в одно—однозначное соответствие дроби
(43) (--00<^<0°)'
где Sa точка из верхней полуплоскости Qfz > 0, a k« — натуральное число.
Найдем общий вид ненегативного функционала на множестве E всех функций (43) для того случая, когда, по крайней мере, одно К = \. Пусть, например, ?, = 1. Если Z1=X1-^iy1, то функции
¦¦«>- (,ЛТД,; -"fcbrl-
= IT^fcr = S(T--V)
так же, как и их вещественные линейные комбинации, принадлежат Е. Введем в рассмотрение функции:
•»Ю-7iTT. V) = TT+P
Если они не входят в Е, доопределим на них функционал $ так, чтобы он остался ненегативным на множестве F = E1+ { о>0, O1 }. Согласно лемме § 1 это возможно, ибо при достаточно большом N
— Nv.it) O0 (*)< Afo1(J)
U1 it) — Nv1 (t) < (U1 (t) < U1 it) + Nv1 (t).
Множество F удовлетворяет условиям теоремы 6; действительно, CDoW > О и
\z«u>0(t) + a>t(t)+g„ (t) при =1
( а) !*.(*)¦ , А. >2,
.144 где ga (t) функция, удовлетворяющая условию,
?<Л0
Iim
= 0.
Следовательно, согласно теореме 6, существуют вещественные константы A0> 0, аг и неубывающая функция о(?)(—оо<?<оо) так, что
oo
a0za+at+f jj™"~FTlrIda^ ПРИ кл в 1
/
de(t)
U-е.)
К = 2
>2.
Введем в рассмотрение функцию комплексного переменного
OO
(45) F(z) = ao0-f (Z1 + у [-JL- _ _<__"] da (t) =
— OO
OO 1
= + + /-737-^10) («I W = /(1+ *)<*»(*))•
— OO C '
Согласно теореме главы 2 статьи 1 эта функция регулярна в верхней полуплоскости и отображает ее на свою часть (F(z) — N-функция), и обратно, если функция F(z) обладает этими свойствами, то она допускает представление (45), в котором а0 > 0, a, ^ 0, a a(t) неубывающая функция. С помощью функции F(z) соотношения (44) можно записать в очень простом виде, а именно:
Fik^z)
(46) ЧТТГЫ = («С»).
ч v а
Покажем теперь, что и обратно, если функционал $ определен на множестве функций (43) с помощью функции F(z) равенствами (46), где F(z) есть некоторая N- функция, то он ненегативен на Е.
Действительно, если
1 v 0V 1 V
ь— > О ( —оо</<оо),
то в разложении окрестности бесконечно удаленной точки
Ахиеэер и Крейн—65—10
145 коэфициенты C0 = О, C1 > 0. Следовательно, в силу (45) и (46)
OO
(47) = во C1 + A1C0 + Д ? (*) - C0 -^rw] do (t) =
— СО
OO
= Ci0C1+ [g (t) d° (t)> О,
я/
-OO
что и доказывает наше утверждение. Мы пришли, таким образом, к предложению.
А. Для того, чтобы существовала N-функция F{z), удовлетворяющая уравнениям
F^(Za)
(^-1), = <°. (Sza > 0; а С 9К),
где хотя бы одно из чисел ka равно 1, необходимо и достаточно, чтобы функционал определенный на множестве функций E = { ^t^z ^J («С Щ равенствами
был бы в ? ненегативным функционалом.
В случае, когда все A0, = 1, можно указать простые алгебраические условия того, чтобы функционал определяемый равенствами
был бы ненегативным. Действительно, если
J=I jI 1
>0 (— С» < t < со),
то
л—1
IS е; 'ftI2
іпс-м'
і
= S ^Ыт-
j, ¦> * .
" f. |2
V——
1 aJ I
146. Следовательно, $ ненегативный функционал, если
л —
ifdi - і 4
при любых Zj. и Iij С 9R(/' = 1, 2, ... га). Таким образом, из предложения А следует, что:
В. Для того, чтобы существовала М-функция F(z), удовлетворяющая уравнениям
F(Ze) = We (3».> 0, а С SK),
необходимо и достаточно, чтобы эрмитовы формы
я _
2 то — т
, я,'
J, Я 1 1
были неотрицательны при любых а;. С ЯП (/ = 1,2,...га).
В несколько более узкой форме последнее предложение было установлено (совсем другим методом) G. Ріск'ом (Math. Ann. Bd. 77, 1916). Между прочим, оно может быть получено также из теоремы 2.1
Мы предоставляем читателю доказать с помощью формулы (47), что в том случае, когда хотя бы одна из неотрицательных форм (48) некоторого порядка га0 является сингулярной ранга г<га0, то N- функция F(s) определяется однозначно и является вещественной рациональной функцией, степень числителя и знаменателя которой не превосходят г и которая имеет только простые вещественные полюсы с отрицательными вычетами.
3. Для получения дальнейших применений теоремы 6 введем некоторые условия:
Пусть F(z)— некоторая А^-функция, а х — вещественное число. Если функция o1 (t) из представления (45) функции F(z) удовлетворяет тому условию, что o1(jc-I-O) — al(x — 0) = 0 и существует несобственный интеграл
OO
— OO
то мы будем считать, что F(x) имеет смысл, устанавливаемый равенством
OO
F(X) = a0x + at+ J 1^fdci (t).
— OO
Если, кроме того, существует интеграл, стоящий в выражении
OO
«0+ f1j^fdo1(t),
— OO
1 См. М. крейн и П. Рехтман [10]. то значение этого выражения мы будем принимать за значение производной F'{x).
Теперь мы можем формулировать следующее предложение: С. Для того, чтобы существовала Д/'-функция F(г), удовлетворяющая условиям
F (jc) - Wa
(49) r(;tK; (¦<»>.
где w'a (а С 9JI) — данные вещественные числа
(хлфхg при »^fc?), необходимо и достаточно, чтобы симметрические формы
