О некоторых вопросах теории моментов - Ахиезер Н.
Скачать (прямая ссылка):
ш (*) = «{>„(*)+ ... (t) > О (a<t<b)r
а следовательно,
ь
o&o + s&i+ • • • +«X = J<»(t)da(t) > О,
a
если X •= (S , S1,... S„_i) С SB и о const, т. е. хф 0. Таким образом, гиперплоскость
aO^O + aI^l + • • • + «я-lSn—i = О
обладает требуемым в с) свойством. Докажем теперь свойство d). Пусть
л^-ф4,..., Sgl1)ся (?=1, 2,...),„
т. е.
ь
Sjw = / Wi (t) (t) (/ = 0, 1,.:. п - 1),
a
где a(k>(t) неубывающие функции (которые мы, между прочим* пронормируем так, чтобы aW(a)=0 (fe = 1, 2,...)); пусть, кроме того, = S1,. ..?„_!).
Покажем, что л: CSB. Действительно, полагая
С = sup (tto ioft) -)- ... + v-h-i Sn-i), Ji= min o)(0 > О, найдем, чт°
ь . '
О < a<ft) (t) < (V) < —¦/«> (t) (t) < у.
a
Следовательно, по первой теореме Helly существует под последовательность ) (t) и некоторая неубывающая функция a (t) такие,
127. что во всех точках непрерывности функции о (t) имеет место равенство:
Ilm O^) (t) = а(<).
v —> oo
С другой стороны, в силу второй теоремы Helly из
ь
fw,{t)d<P*4t) (J = 0, 1,.. .п 1; v = l, 2...)
а
следует, ЧТО
ь
Ii = f WiMdait),
а
т. е., что X = (?,.. • Sn_i) С Таким образом, все свойства а), Ь), с), d) доказаны.
Так как Jf — коническое множество с вершиной в начале координат, то всякая опорная гиперплоскость к ® проходит через точку О1. Пусть
<12) O0X, + ... + а.п-1 Sn-i = О,
уравнение некоторой опорной гиперплоскости к тогда нормировкой коэфициентов а,- можно добиться того, чтобы
(13) ^0? + • •. + ал-1 Sn-I > О при X = (So,..., sn-i) С .f.
Так как L С то в этом случае также
^OwO V) + • • • + ^n-IrWn-I (t)> О (а < t-fCb).
Обратно, последнее неравенство, как мы показали при установлении свойства с), влечет неравенство (13), а значит и то, что гиперплоскость (12) является опорной для
По определению тела®последовательность!Cft)"-1 допускает представление (11) тогда и только тогда, когДа точка л:0 = {с0, C1,..., Cn^1) С Й. Так как $ выпукло и замкнуто, то это имеет место при том и только том условии, что точка л:0 и ® лежат по одну сторону от каждой опорной гиперплоскости к Is. В силу сказанного об опорных гиперплоскостях (12), последнее равнозначно условию ненегативности гіоследовательности {ck (^-1 ¦относительно последовательности {Wk (t))l~]так как, если wh (t)
1 Гиперплоскость H называется опорной для множества 9К, если она находится на нулевом расстоянии от 9A и если SJi лежит на одну сторону от Н.
. s Таким образом, гиперплоскость H тогда и только тогда является опорной для когда она проходит через начало координат и кривая L лежит по одну сторону от нее. Так как L ? то отсюда следует, что ® есть наименьшее замкнутое выпуклое коническое (с вершиной в точье О) множество, содержащее кривую 1.
3 В силу теоремы Миньковского: Если точка х лежит вне замкнутого выпуклого множества SR, то у 91 существует опорная гиперплоскость такая, что х и 9? лежат от нее По разные стороны (см. теорему 5 статьи Ш).
128. вещественны, то последовательность {ненегативна тогда и только тогда, когда все Ck вещественны и неравенство
a0w0(?)+...+ ?n-i'ffi'n-i(t) > 0 (a<?<6)
влечет за собой неравенство
CtaC0 -f ... + a„_iC„_i > 0.
Таким образом, наша теорема доказана для , случая конечной последовательности {Wk (?)}; с помощью теорем Helly нетрудно от этого случая перейти к случаю бесконечной последовательности, что мы предоставим проделать читателю.
Геометрический метод, которым мы пользовались при втором доказательстве теоремы, позволяет также очень просто установить следующее предложение:1
Теорема 3
Если конечная последовательность {wk(t) вещественных и непрерывных в интервале<а, Ь> функций обладает тем свойством, что при любых вещественных ak (k = 0, 1,...л — 1) одновременно неравных нулю функция
а0®0 (t) + . . . + Cln^iWп-1 (t)
меняет свой знак в интервале<а, Ь>, то любой последовательности вещественных чисел C0, C1,.. . Cn-1 отвечает некоторая неубывающая функция о(t), такая, что
ь
Ck = J wk (t)da(t) (?=0,1,.../1-1)
* а
Доказательство
Определим множество A так же, как и при доказательстве теоремы 2 Так же как и раньше ® будет, обладать свойствами а) и Ь), т. е. будет выпуклым коническим, содержащим кривую L множеством.
С другой стороны, в силу условий доказываемой теоремы любая гиперплоскость Н, проходящая через начало координат, пересекает кривую L, и следовательно, $ (точки $ расположены по обе стороны от Н). Следовательно, начало координат О является внутренней точкой S1 и поэтому, будучи коническим
1 Теорему 3 также можно найти в статье Schoenberg'a [38] и автора [lib]. В последней указаны также общие функциональные соображения, из которых как весьма частные следствия, получаются обе теоремы 2 и 3 (см. по этому поводу статью III).
Ахиезер її Крейн—65—9
129 множеством с вершиной в О, S совпадает со всем эвклидовским пространством. Теорема доказана.
4. Приложения теоремы 2
Легко видеть, что теоремы 2, Ia—2а, 7 главы 2 статьи I являются частными случаями (с некоторыми небольшими дополнениями) теоремы 2.
