О некоторых вопросах теории моментов - Ахиезер Н.
Скачать (прямая ссылка):
»
X = lim хп, X С G, {Xn С G,
вытекает, что
f(x) = lim f (хп),
' то функционал f{x) называется непрерывным в G.
В дальнейшем мы будем рассматривать только лишь функционалы / (х), область определения которых G есть линейная система, а следовательно, GCE есть линейное нормированное пространство (подпространство Е).
Всякий такой функционал f(x) называется аддитивным, если
f(x+y) = f(x)+f(y) при всяких у С G.
Аддитивный функционал f(x) называется линейным, если он непрерывен. Легко показать, что линейный функционал f(x) является однородным функционалом, т. е.
f (Ix) = If(X) (хС О).
Докажем, что:]
Для того, чтобы аддитивный функционал f(х) был линейным, необходимо и достаточно, чтобы существовала константа Af > О такая, что
(1) UCG).
Для доказательства необходимости условия допустим обратное, т.е. что отношение /(я)/||л:|| неограничено в G. Тогда для любого натурального я найдется элемент хп С G, для которого
(2) 1/(*п)1>л||*„1!-Положим
(3) J'»-^iitr ("-1.?.,.);
тогда Il уп у < и следовательно, Iim уп — 6.
Вследствие непрерывности функционала f(x) мы должны были бы иметь
152. Hm/(jn) =/(6) = С, а вместе с тем, в силу (2) и (3)
1/0?) |>1 (« = 1,2,3,...).
Мы пришли к противоречию.
Обратно, пусть при некотором Al аддитивный функционал удовлетворяет неравенству (1), тогда из того, что
Iim Xn = X (л: CG, {*B}fC G), следует, что lim f {хп) = f (х), ибо
\f (x)-f(xn)\ = \f (х-хп)\< M \\х-Xn II.
В силу неравенства (1) имеет смысл величина
II/ IIg= sup -1??1= sup |/(*) I (xCG).
II*!! ||At||<l
Эта величина является наименьшим значением Ni, при котором выполняется неравенство (1), и называется нормо й в О функционала /(.*); если O = E, то говорят просто о норме функционала / и пишут ||/1|.
2. Множество К L E будем называть конусом, если оно обладает следующими свойствами:
1°. Если X С К, то Ix С К при Х>0.
2°. Если х, у L К, то X +у С К.
3°. Если л С К и хфЬ, то — хСЕ—К.
4°. Множество К содержит некоторую сферу.
Отправляясь от некоторого фиксированного конуса К, условимся писать х>у (х>у), если х—у С К (х — у есть внутренняя точка К). Легко убедиться в том, что неравенства, определенные таким образом, подчиняются обыкновенным правилам алгебры. Функционал f (х), определенный в линейном подпространстве OQE, содержащем элементы из К, назовем позитивным, если f(x)>0 при X >6, т. е. X С К.
Заметим, что каждый аддитивный позитивный функционал / (х), определенный во всем Ei, является линейным функционалом. Действительно, если f(x) — позитивный аддитивный функционал, то из неравенства X^ у вытекает неравенство/(х)</(v). С другой стороны, согласно условию 4° конус К содержит некоторую сферу S (х0, р), т. е.
X > 9 при II X — JC0II <5 р.
Следовательно, для всех векторов е с нормой, не превосходящей единицы (Il е Il < 1) имеет место неравенство
(4) X0 ± P е > 0 или ± е < -j- X0.
1 Или в подпространстве G (_ Е, содержащем внутренние точки конуса К, т» е. содержащем положительные элементы.
153. Отсюда
а следовательно,
ибо для каждого функционала f(x)
l/(«)l</(f )=м>
І/ИКуиіілЦ, рационального г > || х |
в силу аддитивности
ІІ/МІ- /(-f)
когда ОфЕ. G два каких-
Утверждение доказано. Теорема 1.
Если подпространство G С ? содержит, по крайней мере, один положительный элемент х0>В, то всякий линейный позитивный функционал f(x), определенный в О, может быть расширен до линейного позитивного функционала F (х), определенного во всем Е.
Слова „может быть расширен и т. д." следует понимать в том смысле, что
F{x) = / (л) при X С G.^
Доказательство
Достаточно рассмотреть только тот случай. Пусть у0 С E—G. Обозначим через х' С G и х" С либо элемента, для которых
(5) X'^y0 ^x".
Такие элементы х' и х" существуют, ибо, полагая в неравенстве (4) вектор е равным J'o/11 _Vo IU мы получим, что
-f IUoII <yo<f IlУо Il- ,
Так как всегда из (5) следует, что / (.*') </ (х"), то найдется такое число S, что
(6) sup / (х') < S < inf / {х"),
где знак sup (соответственно знак inf) распространяется на все л:' (соответственно всё х"), удовлетворяющие неравенству (5).
Рассмотрим линейное пространство O0^ б, образованное всеми элементами у вида
у = X + ty0,
где л С G, a t — произвольное вещественное число. Положим
«Р (У)-/(*) +Й-
Определенный таким образом в G0 функционал <р (у) аддитивен и позитивен. Первое очевидно; второе следует из того,
.154 что если у = л;+ ^y0 >8 (іф 0), то
__< Уо при t > 0,
t х >у0 „ t< О,
а следовательно, в силу (6)
! при ?>0
—TfM . ? < 0.
Откуда в обоих случаях <р(_у) — f(x) + tZ > 0.
Таким образом, мы видим, что достаточно вполне упорядочить множество E—G, чтобы последовательными продолжениями fix) с помощью описанного процесса придти к фунцио-налу F(x), существование которого мы желали доказать1: Теорема 2.
Если линейное подпространство GCE обладает тем свойством, что множество его единичных элементов е (Il б Il = 1) находится на положительном расстоянии d от К г, то любой определенный в G линейный функционал f(х) может быть расширен до линейного позитивного функционала F(x), опре-деленного уже во всем ? a. Доказательство
